Miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây được biểu diễn bởi mặt phẳng không

Miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây được biểu diễn bởi mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ bên (không kể đường thẳng d₁, d₂, d₃)?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét đường thẳng d₁: y = a₁x + b₁ đi qua điểm (1; 2) và (−1; 1) nên ta có :

$\left\{\begin{array}{c}2=1a_1+b_1\\ 1=-1a_1+b_1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_1=\frac{1}{2}\\ b_1=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Vậy (d₁): y =$\frac{1}{2}$ x + $\frac{3}{2}$  ⇔ −x + 2y = 3.

Thay điểm (0; 3) thuộc miền nghiệm vào (d_1­) ta được:

−0 + 2 . 3 > 3

Do đó ta có bất phương trình −x + 2y > 3 (không kể đường thẳng d₁) (1)

Xét đường thẳng d₂: y = a₂x + b₂ đi qua điểm (0; 1) và (1; 0) nên ta có :

$\left\{\begin{array}{c}1=0a_2+b_2\\ 0=1a_2+b_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_2=-1\\ b_2=1\end{array}\right.$

Vậy (d₂): y =  −x + 1 ⇔ x + y − 1 = 0

Thay điểm (0; 3) thuộc miền nghiệm vào (d_2­) ta được:

0 + 3 − 1 > 0

Do đó ta có bất phương trình x + y − 1 > 0 (không kể đường thẳng d₂)  (2)

Xét đường thẳng d₃: y = a₃x + b₃ đi qua điểm (0; 2) và (1; 2) nên ta có :

$\left\{\begin{array}{c}2=0a_1+b_1\\ 2=1a_1+b_1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{a}_1=0\\ b_1=2\end{array}\right.$

Vậy (d₃): y = 2.

Thay điểm (0; 3) thuộc miền nghiệm vào (d_3­) ta được:

3 > 2

Do đó ta có bất phương trình y > 2 (không kể đường thẳng d₃) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}-x+2y>3\\ x+y-1>0\\ y>2\end{array}\right.$ .