Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = AC = a. Tính vecto AB. vecto BC

Câu hỏi:

A. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-a^2$

B. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=a^2$

C. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=-\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$

D. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vẽ $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}$.

Ta có $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CBD}$.

Tam giác ABC vuông cân tại A. Ta suy ra $\widehat{ABC}=45°$.

Ta có $\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=180°$ (hai góc kề bù)

Khi đó ta được $\widehat{CBD}=180°-45°=135°$.

Tam giác ABC vuông cân tại A: BC² = AB² + AC² (Định lý Pytago)

⇔ BC² = 2a²

$\Rightarrow BC=a\sqrt{2}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=AB.BC.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=a.a\sqrt{2}.\cos 135°=-a^2$

Vậy ta chọn đáp án A.