Giải Toán 10 trang 102 Tập 1 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm giải Toán 10 trang 102 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 5 Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 102.

Giải Toán 10 trang 102 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đều khác vectơ $\overrightarrow{0}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

b) Nếu hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Lời giải:

a) Gọi Δ₁, Δ₂, Δ₃ lần lượt là giá của ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$.

+ Vectơ $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{c}$ ⇒ Δ₁ //≡ Δ₃

+ Vectơ $\overrightarrow{b}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{c}$ ⇒ Δ₂ //≡ Δ₃

Do đó: Δ₁ //≡ Δ₂

Vậy vectơ $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ  $\overrightarrow{b}$ (theo định nghĩa).

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng ngược hướng với $\overrightarrow{c}$.

Suy ra $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ đều cùng phương với $\overrightarrow{c}$ .

Theo câu a suy ra vectơ $\overrightarrow{a}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{b}$ .

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều ngược hướng với $\overrightarrow{c}$  nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Vậy khẳng định b) đúng.

Bài 2 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}$.

b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{10}}{2}$.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O.

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC² = a² + (3a)² = 10a²$\Rightarrow AC=a\sqrt{10}$.

Do đó: BD = AC = $a\sqrt{10}$.

Vậy $\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\sqrt{10},\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=a\sqrt{10}$.

b) Vì O là trung điểm của AC nên AO = OC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{a\sqrt{10}}{2}$.

Khi đó: $\left|\overrightarrow{AO}\right|=\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|=\left|\overrightarrow{CO}\right|=\frac{a\sqrt{10}}{2}$.

Hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.

Hai vectơ $\overrightarrow{AO}$ và $\overrightarrow{CO}$ ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.

Vì O là trung điểm của BD nên BO = OD = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{a\sqrt{10}}{2}$.

Khi đó: $\left|\overrightarrow{BO}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OD}\right|=\left|\overrightarrow{DO}\right|=\frac{a\sqrt{10}}{2}$.

Hai vectơ $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OD}$ ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.

Hai vectơ $\overrightarrow{BO}$ và $\overrightarrow{DO}$ ngược hướng và có độ dài bằng nhau nên hai vectơ này đối nhau.

Vậy các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{10}}{2}$ trong hình là:

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC};\overrightarrow{AO},\overrightarrow{CO};\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{BO},\overrightarrow{DO}$.  

Bài 3 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau: $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ ; $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ ; $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA = a.

Xét tam giác ABD có AB = AD và $\widehat{BAD}=60°$ nên tam giác ABD đều.

Suy ra BD = AB = AD = a.

Ta có: $\widehat{ADC}=180°-\widehat{BAD}=180°-60°=120°$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ADC ta có:

AC² = AD² + DC² – 2 . AD . DC . cosADC

= a² + a² – 2 . a . a . cos120° = 3a²

Suy ra: AC = $a\sqrt{3}$.

+ Vì ABCD là hình thoi nên ABCD cũng là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ .

Do đó: $\left|\overrightarrow{p}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=a\sqrt{3}$.

+ Ta có: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$

Do đó: $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=DB=a$.

+ Ta có: $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}-\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$

Do đó: $\left|\overrightarrow{v}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=DB=a$.

Bài 4 trang 102 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AN}$ (Hình 1).

a) Tìm tổng của các vectơ $\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{MC}$; $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{NC}$.

b) Tìm các vectơ hiệu: $\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC};\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME}$.

c) Chứng minh $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. 

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình bình hành nên BC // = AD.

M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD nên BM = MC = $\frac{1}{2}$BC; AN = ND = $\frac{1}{2}$AD

Mà $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AN}$ nên CE //= AN.

Do đó: BM = MC = AN = ND = CE (1).

Hai vectơ $\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{MC}$ cùng hướng (do AN // MC và cùng hướng đi từ trái qua phải) và $\left|\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{AN}\right|$ nên $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MC}$.

Khi đó ta có AMCN là hình bình hành nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}$.

Do đó: $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{ND}$

Lại có: ME = MC + CE; AD = AN + ND (2)

Từ (1) và (2) suy ra ME = AD, mà ME // AD nên AMED là hình bình hành, theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}$.

Do đó ta có: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}$.

b) Vì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}$ nên $\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}$.

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Do đó ta có: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$.

Vì AMED là hình bình hành nên $\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{AD}$.

Do đó ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$.

c) Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

Do AMCN là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$.

Từ đó suy ra:  $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ .

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Giải Toán 10 trang 103