X

Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 10 trang 103 Tập 1 Chân trời sáng tạo


Haylamdo biên soạn và sưu tầm giải Toán 10 trang 103 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 5 Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 103.

Giải Toán 10 trang 103 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho a,b là hai vectơ khác vectơ 0. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) a+b=a+b ;

b) a+b=ab.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức u2=u2.

Bình phương hai vế của đẳng phức a+b=a+b, ta được:

a+b2=a+b2

a+b2=a2+2a.b+b2

a2+2a.b+b2=a2+2a.b+b2

a.b=a.b

Mà a.b=a.b.cosa,b

Do đó: a.b=a.b.cosa,bcosa,b=1

Suy ra: a,b=0°  hay hai vectơ a và b cùng hướng.

Vậy đẳng thức a) đúng khi hai vectơ a và b cùng hướng.

b) Bình phương hai vế của đẳng thức a+b=ab, ta được:

a+b2=ab2

a+b2=ab2

a2+2a.b+b2=a22a.b+b2

a.b=0ab

Vậy đẳng thức b) đúng khi hai vectơ a và b vuông góc với nhau.

Bài 6 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho a+b=0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b.

Lời giải:

Ta có: a+b=0a+b=0a=b.

Khi đó a và b là hai vectơ đối nhau.

Vậy a và b cùng phương, ngược hướng và có cùng độ dài.

Bài 7 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng AB=CD  khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Lời giải:

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng vectơ AB = vectơ CD khi và chỉ khi trung điểm

+) Có AB=CD, cần chứng minh trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J.

Khi đó ta có: IA+ID=0,   JB+JC=0 .

Theo quy tắc ba điểm ta có:

IJ=IA+AJ=IA+AB+BJ

IJ=ID+DJ=ID+DC+CJ

Suy ra: IJ+IJ=IA+AB+BJ+ID+DC+CJ

=IA+ID+AB+DC+BJ+CJ

=0+AB+DCJB+JC

=AB+DC0=AB+DC

Do đó:   AB+DC=2IJ (1)

AB=CD nên AB+DC=CD+DC=CC=0  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IJ=0

Do đó I ≡ J hay trung điểm của AD và BC trùng nhau.

+) Có trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau, cần chứng minh AB=CD.

Gọi I là trung điểm của AD thì I cũng là trung điểm của BC.

Do đó: IA+ID=0,  IB+IC=0.

Theo quy tắc ba điểm ta có: AB=AI+IB;  CD=CI+ID

Suy ra: ABCD=AI+IBCI+ID=IB+ICIA+ID=00=0

AB=CD

Bài 8 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng RJ+IQ+PS=0.

Lời giải:

Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS

Do ABIJ là hình bình hành nên AJ=BI.

Do BCPQ là hình bình hành nên BQ=CP.

Do CARS là hình bình hành nên RA=SC.

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

RJ+IQ+PS=RA+AJ+IB+BQ+PC+CS

=RA+CS+AJ+IB+BQ+PC

=SC+CS+BI+IB+CP+PC

=SS+BB+CC=0+0+0=0

Vậy RJ+IQ+PS=0.

Bài 9 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20° về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s

Lời giải:

Quan sát Hình 2, ta thấy:

Vectơ vận tốc thực của máy bay là v1 và v1=45 m/s.

Vectơ vận tốc gió là v2 , ta cần tính v2.

Vectơ vận tốc của máy bay so với mặt đất là v và v=38 m/s.

Góc giữa hai vectơ v và v1 là 20°.

Ta có:   v=v1+v2v2=vv1        (1)

Bình phương hai vế của (1), ta được:

v22=vv12

v22=v22v.v1+v12

v22=v22.v.v1.cosv,v1+v12

v22=3822.38 . 45 . cos20°+452

v22255,25

Suy ra: v215,98.

Vậy tốc độ của gió khoảng 15,98 m/s.

Bài 10 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng MD+ME+MF=32MO.

Lời giải:

Tam giác ABC đều nên A^=B^=C^=60°.

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý

Qua M kẻ: HG // AB, IJ // BC, KL // AC với H, L ∈ BC; K, J ∈ AB; G, I ∈ AC.

Khi đó ta có AKMG, BJMH, MLCI là các hình bình hành.

Theo quy tắc hình hình hành ta có:

MK+MG=MA;  MH+MJ=MB;  MI+ML=MC               (1) 

Ta có: MH // AB  MHL^=B^=60° (đồng vị)

ML // AC MLH^=C^=60° (đồng vị)

Tam giác MHL có MHL^=MLH^=60° nên tam giác MHL đều.

Có MD vuông góc với HL nên MD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác MHL.

Suy ra D là trung điểm của HL.

Khi đó ta có: MH+ML=2MD.

Chứng minh tương tự ta có: MK+MJ=2MF;MG+MI=2ME.

Do đó: 2MD+2ME+2MF=MH+ML+MG+MI+MK+MJ

=MK+MG+MH+MJ+MI+ML  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2MD+ME+MF=MA+MB+MC

Mà O là trọng tậm của tam giác ABC nên MA+MB+MC=3MO

Do đó: 2MD+ME+MF=3MO

Suy ra MD+ME+MF=32MO

Bài 11 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một xe goòng được kéo bởi một lực F có độ lớn là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200 m. Cho biết góc giữa F và AB là 30° và F được phân tích thành 2 lực F1,F2  (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực F1,F2 và F2.

Một xe goòng được kéo bởi một lực F có độ lớn là 50 N

Lời giải:

Công sinh bởi lực F là

A = F.AB.cosF,AB = 50 . 200 . cos30° = 50003 (J).

Góc tạo bởi lực F1 và AB là 90°, do đó công sinh bởi lực F1 là

A1 = F1.AB.cosF1,AB =  F1.200.cos90°=0 (J).

Ta có:  F2=F.cos30°=50.32=253(N)

Hai vectơ F2 và  AB cùng hướng nên F2,  AB=0° .

Do đó công sinh bởi lực F2  là

A2 =F2.AB.cosF2,AB=253.200.cos0°=50003   (J).

Bài 12 trang 103 Toán lớp 10 Tập 1: Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi v1,v2,v lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.

a) Tính độ dài của các vectơ v1,v2,v.

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?

Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s

Lời giải:

a) Vectơ v1 là vectơ vận tốc của thuyền so với dòng nước, do đó: v1=0,75 m/s.

Vectơ v2 là vectơ vận tốc của dòng nước so với bờ, do đó: v2=1,20 m/s.

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

v2=v12+v22=0,752+1,202=2,0025

Suy ra: v=2,0025=38920  m/s.

b) Vectơ  là vectơ vận tốc của thuyền so với bờ nên tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là v=38920 m/s.

c) Ta có: cosv1,v=v1v=0,7538920=58989.

Suy ra v1,v58°.

Vậy góc tạo bởi hướng dịch chuyển của thuyền so với bờ là θ = 90° – 58° = 32°.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5 Chân trời sáng tạo hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: