Giải Toán 10 trang 79 Tập 1 Chân trời sáng tạo

❮ Bài trước Bài sau ❯

Haylamdo biên soạn và sưu tầm giải Toán 10 trang 79 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 4 Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 79.

Giải Toán 10 trang 79 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 120^{o}$ , b = 8, c = 5. Tính:

a) Cạnh a và các góc $\hat{B}$ , $\hat{C}$ ;

b) Diện tích tam giác ABC;

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

a² = b² + c² – 2bccosA = 8² + 5² – 2.8.5.cos120° = 129

⇒ a = $\sqrt{129} \approx 11, 4$ .

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosB = $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} = \frac{11, 4^{2} + 5^{2} - 8^{2}}{2.11, 4.5} \approx 0, 798$ .

⇒ $\hat{B} \approx 37^{o} 4'$ .

Tam giác ABC có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{o} \Rightarrow \hat{C} = 180^{o} - (\hat{A} + \hat{B}) = 180^{o} - (120^{o} + 37^{o} 4') = 22^{o} 56'$

Vậy a ≈ 11,4; $\hat{B} \approx 37^{o} 4'$ ; $\hat{B} = 22^{o} 56'$ .

b) Nửa chu vi tam giác ABC là : $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{11, 4 + 8 + 5}{2} = 12, 2$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:

$S = \sqrt{12, 2. (12, 2 - 11, 4) . (12, 2 - 8) . (12, 2 - 5)} = \sqrt{295, 1} \approx 17, 2$

Vậy diện tích tam giác ABC khoảng 17,2 (đơn vị diện tích).

c) Ta có diện tích tam giác ABC: $S = \frac{a b c}{4 R} \Rightarrow R = \frac{a b c}{4 S} = \frac{11, 4.8.5}{4.17, 2} \approx 6, 6$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khoảng 6,6 (đơn vị độ dài).

Gọi h_a là độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A, tức là h_a = AH.

Khi đó $S = \frac{1}{2} a h_{a} \Rightarrow h_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2.17, 2}{11, 4} \approx 3$

⇒ AH = h_a ≈ 3.

Vậy AH ≈ 3.

Bài 5 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD.

a) Chứng minh 2(AB² + BC²) = AC² + BD².

b) Cho AB = 4, BC = 5, BD = 7. Tính AC.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên BC = AD; AB = DC,

Và AB // CD nên $\hat{A} + \hat{D} = 180^{o} \Rightarrow \hat{D} = 180^{o} - \hat{A}$ suy ra cosD = cos(180 – A)= – cosA.

Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác ABD và ADC ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cosA = BC² + AB² – 2.BC.AB.cosA

AC² = AD² + DC² – 2.AD.DC.cosD = BC² + AB² + 2.BC.AB.cosA

Khi đó : BD² + AC² = 2AB² + 2BC² = 2(AB² + BC²).

Vậy 2(AB² + BC²) = AC² + BD².

b) Thay AB = 4, BC = 5, BD = 7 vào biểu thức 2(AB² + BC²) = AC² + BD² ta được:

2.(4² + 5²) = AC² + 7² ⇒ AC² = 2.(4² + 5²) – 7² = 33

⇒ AC = $\sqrt{33} \approx 5, 7$

Vậy AC ≈ 5,7.

Bài 6 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 15, b = 20, c = 25.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

a) Nửa chu vi tam giác ABC là : $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{15 + 20 + 25}{2} = 30$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC:

$S = \sqrt{30. (30 - 15) . (30 - 20) . (30 - 25)} = \sqrt{22500} = 150$

Vậy diện tích tam giác ABC là 150 (đơn vị diện tích).

b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có diện tích tam giác ABC: $S = \frac{a b c}{4 R} \Rightarrow R = \frac{a b c}{4 S} = \frac{15.20.25}{4.150} = 12, 5$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 12,5 (đơn vị độ dài).

Bài 7 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

cotA + cotB + cotC = $\frac{R (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c}$

Lời giải:

Đặt BC = a, AC = b, AB = c.

Ta có: cotA = $\frac{\cos A}{\sin A}$ mà theo hệ quả định lí côsin cosA = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2. b . c}$ ;

Vì $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ ⇒ sinA = $\frac{2 S}{b c}$

Do đó cotA = $\frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}}{\frac{2 S}{b c}} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S}$

Tương tự, ta có : cotB = $\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S}$ ; cotC = $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S}$ ;

Suy ra: cotA + cotB + cotC = $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S} + \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S} + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S}$

Mặt khác S = $\frac{a b c}{4 R}$ (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Suy ra: cotA + cotB + cotC = $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4. \frac{a b c}{4 R}} = \frac{R (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c}$

Vậy cotA + cotB + cotC = $\frac{R (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c}$

Bài 8 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Tính khoảng cách AB giữa hai nóc tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 370 km, 350 km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là 2,1°.

Tính khoảng cách AB giữa hai nóc tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó

Lời giải:

Gọi vị trí của vệ tinh là C. Khi đó ta có tam giác ABC có : AC = 370 km, BC = 350 km, $\hat{C} = 2, 1^{o}$ .

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có :

AB² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cosC = 370² + 350² – 2.370.350.cos2,1° ≈ 573,9

⇒ AB = $\sqrt{573, 9}$ ≈ 24.

Vậy khoảng cách giữa hai nóc nhà A và B khoảng 24 km.

Bài 9 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300 m và thẳng hàng với chân B của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển (Hình 2). Từ P và Q, người ta nhìn thấy tháp hải đăng AB dưới các góc $\hat{B P A} = 35^{o}$ và $\hat{B Q A} = 48^{o}$ . Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300 m và thẳng hàng với chân B

Lời giải:

Ta có tam giác ABP và tam giác ABQ là các tam giác vuông tại B.

Trong tam giác ABP vuông tại B ta có: tan $\hat{B P A}$ = $\frac{A B}{P B} = \frac{A B}{P Q + Q B} = \frac{A B}{300 + Q B}$

Suy ra : tan35° = $\frac{A B}{300 + Q B}$ ⇒ AB = (300 + QB).tan35° (1)

Trong tam giác ABQ vuông tại B ta có: tan $\hat{B Q A}$ = $\frac{A B}{Q B}$

Suy ra : tan48° = $\frac{A B}{Q B}$ ⇒ AB = QB.tan48°(2)

Từ (1) và (2) suy ra : (300 + QB).tan35° = QB.tan48°

⇒ QB = $\frac{300. \tan 35^{o}}{\tan 48^{o} - \tan 35^{o}}$ ≈ 511,8.

⇒ AB = QB.tan48^o ≈ 511,8.tan 48° ≈ 568,4.

Vậy chiều cao của tháp hải đăng khoảng 568,4 m.

Bài 10 trang 79 Toán lớp 10 Tập 1: Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm A, B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là h = 1,2 m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A₁, B₁ cùng thẳng hàng với C₁ thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được $\hat{D A_{1} C_{1}} = 49^{o}, \hat{D B_{1} C_{1}} = 35^{o}$ . Tính chiều cao CD của tháp.