Giải Toán 10 trang 78 Tập 1 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm giải Toán 10 trang 78 Tập 1 trong Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 78.

Giải Toán 10 trang 78 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là 32° và 40° (Hình 9).

Lời giải:

Đặt BD = x km, khi đó ta có CB = BD + CD = x + 1.

Trong tam giác ABC vuông tại B ta có:

$\tan \widehat{ACB}=\tan {32}^o=\frac{AB}{CB}=\frac{AB}{x+1}\Rightarrow AB=(x+1)\tan {32}^o=x\tan {32}^o+\tan {32}^o$     (1)

Trong tam giác ABD vuông tại B ta có:

 $\tan \widehat{ADB}=\tan {40}^o=\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{x}\Rightarrow AB=x\tan {40}^o$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $x\tan {32}^o+\tan {32}^o=x\tan {40}^o\Rightarrow x=\frac{\tan {32}^o}{\tan {40}^o-\tan {32}^o}\approx 2,92$.

Suy ra AB = x.tan40° ≈ 2,92.tan40° ≈ 2,45 km.

Vậy chiều cao AB của một ngọn núi khoảng 2,45 km.

Bài 5 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng 32° so với phương ngang, cách nhau 60 m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62°. Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là 70°. Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.

Lời giải:

Gọi R là vị trí của khinh khí cầu.

Do quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62° nên $\widehat{RPQ}={62}^o-{32}^o={30}^o$

Do quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu là 70° nên

$\widehat{RQP}={180}^o-({70}^o-{32}^o)={142}^o$

Tam giác RPQ có:

$\widehat{R}+\widehat{RPQ}+\widehat{RQP}={180}^o\Rightarrow \widehat{R}={180}^o-(\widehat{RPQ}+\widehat{RQP})={180}^o-({30}^o+{142}^o)=8^o$

Áp dụng định lí sin cho tam giác RPQ ta có:

$\frac{RQ}{\sin \widehat{RPQ}}=\frac{PQ}{\sin R}\Rightarrow \frac{RQ}{\sin {30}^o}=\frac{60}{\sin 8^o}\Rightarrow RQ=\frac{60\sin {30}^o}{\sin 8^o}\approx 215,6$

Vậy khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu khoảng 215,6 m.

Bài 6 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là 43°, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là 62° và điểm mốc khác là 54° (Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.

Lời giải:

Gọi vị trí người đứng ở trên tháp truyền hình là A, hai cột mốc ở dưới đất lần lượt là B và C, chân tháp truyền hình là D.

Khi đó ta có các tam giác ABD và ACD vuông tại D.

$\widehat{BAD}={62}^o;\widehat{CAD}={54}^o;\widehat{BAC}={43}^o$; AD = 352 m.

Trong tam giác ABD vuông tại D ta có:

$\cos \widehat{BAD}=\cos {62}^o=\frac{AD}{AB}=\frac{352}{AB}\Rightarrow AB=\frac{352}{\cos {62}^o}\approx 749,8$

Trong tam giác ACD vuông tại D ta có:

$\cos \widehat{CAD}=\cos {54}^o=\frac{AD}{AC}=\frac{352}{AC}\Rightarrow AC=\frac{352}{\cos {54}^o}\approx 598,9$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC. cos$\widehat{BAC}$  

= 749,8² + 598,9² – 2.749,8.598,9. cos43°  ≈ 264 044,9

⇒ BC = $\sqrt{264044,9}\approx 513,9$ m.

Vậy khoảng cách giữa hai cột mốc khoảng 513,9 m.

Bài 1 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Biết a = 49,4; b = 26,4; $\widehat{C}={47}^{o}20\text{'}$ . Tính hai góc $\widehat{A};\widehat{B}$ và cạnh c.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin ta có:

c² = a² + b² – 2abcosC = 49,4² + 26,4² – 2.49,4.26,4.cos47°20' ≈ 1 369,6

⇒ c = $\sqrt{1369,6}\approx 37$

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có

cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{26,4^2+{37}^2-49,4^2}{2.26,4.37}\approx -0,192$

⇒ $\widehat{A}\approx {101}^{o}3\text{'}$

Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o\Rightarrow \widehat{B}={180}^o-(\widehat{A}+\widehat{C})={180}^o-({101}^{o}3\text{'}+{47}^{o}20\text{'})={31}^{o}37\text{'}$

Vậy $\widehat{A}\approx {101}^{o}3\text{'}$; $\widehat{B}\approx {31}^{o}37\text{'}$; c ≈ 37.

Bài 2 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Biết a = 24, b = 13, c = 15. Tính các góc $\widehat{A}\text{, }\widehat{B}\text{, }\widehat{C}$ .

Lời giải:

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{13}^2+{15}^2-{24}^2}{\mathrm{2.13.15}}\approx -0,467$

⇒ $\widehat{A}\approx {117}^{o}49\text{'}$

cosB = $\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{{24}^2+{15}^2-{13}^2}{\mathrm{2.24.15}}\approx 0,878$

⇒ $\widehat{B}\approx {28}^{o}37\text{'}$

Tam giác ABC có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^o\Rightarrow \widehat{C}={180}^o-(\widehat{A}+\widehat{B})={180}^o-({117}^{o}49\text{'}+{28}^{o}37\text{'})={33}^{o}34\text{'}$

Vậy $\widehat{A}\approx {117}^{o}49\text{'}$; $\widehat{B}\approx {28}^{o}37\text{'}$; $\widehat{C}={33}^{o}34\text{'}$.

Bài 3 trang 78 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, c = 13.

a) Tam giác ABC có góc tù không?

b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C. Tính độ dài BD.

Lời giải:

a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

cosC = $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{8^2+{10}^2-{13}^2}{\mathrm{2.8.10}}=-0,03125$

⇒ $\widehat{C}\approx {91}^{o}47\text{'}26\text{'}\text{'}$

Suy ra $\widehat{C}>{90}^o$

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

b) Do AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của BC, tức là MB = MC = BC : 2 = 4.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ACM ta có:

AM² = AC² + CM² – 2.AC.CM.cosC = 10² + 4² – 2.10.4.cos91°47'26" = 118,5

⇒ AM ≈ 10,9.

Nửa chu vi của tam giác ABC là : $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{8+10+13}{2}=15,5$

Áp dụng công thức Heron ta có diện tích tam giác ABC là:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{15,5.(15,5-8).(15,5-10).(15,5-13)}\approx 40$

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có:

$S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{8.10.13}}{4.40}=6,5$

Vậy độ dài đường trung tuyến AM ≈ 10,9; diện tích tam giác ABC là 40; bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,5.

c) Vì D đối xứng với A qua C nên C là trung điểm của AD.

Suy ra AD = 2AC = 2.10 = 20.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{10}^2+{13}^2-8^2}{\mathrm{2.10.13}}=\frac{205}{260}=\frac{41}{52}$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABD ta có:

BD² = AD² + AB² – 2.AD.AB.cosA = 20² + 13² – 2.20.13. $\frac{41}{52}$ = 159

⇒ BD = $\sqrt{159}$  ≈ 12,6.

Vậy BD ≈ 12,6.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế Chân trời sáng tạo hay khác:

• Giải Toán 10 trang 74

• Giải Toán 10 trang 75

• Giải Toán 10 trang 76

• Giải Toán 10 trang 77