Cho bất phương trình 2x^2 – 4x + m + 5 > 0. Tìm m để bất phương trình

Cho bất phương trình 2x² – 4x + m + 5 > 0. Tìm m để bất phương trình đúng \(\forall x \ge 3\)?

A. m ≥ – 11;

B. m > – 11;

C. m < – 11;

D. m < 11.

Đáp án đúng là: B

Ta có: a = 2 > 0. Do đó, 2x² – 4x + m + 5 > 0, \(\forall x \ge 3\) sẽ có trường hợp sau:

Trường hợp 1. ∆ < 0 \( \Leftrightarrow \) (– 4)² – 4.2.(m + 5) < 0 \( \Leftrightarrow \) m > – 3, khi đó

2x² – 4x + m + 5 > 0 với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó 2x² – 4x + m + 5 > 0 với \(\forall x \ge 3\).

Trường hợp 2. ∆ ≥ 0, khi đó phương trình 2x² – 4x + m + 5 = 0 sẽ có hai nghiệm x₁; x₂.

Do đó, để 2x² – 4x + m + 5 > 0, \(\forall x \ge 3\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\{x_1} \le {x_2} < 3\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\a\,f\left( 3 \right) > 0\\\frac{S}{2} < 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 3\\2\left( {{{2.3}^2} - 4.3 + m + 5} \right) > 0\\1 < 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 3\\m > - 11\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \). – 11 < m ≤ – 3

Kết hợp hai trường hợp lại ta được m > – 11 thì thì 2x² – 4x + m + 5 > 0 với \(\forall x \ge 3\).