Cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25 và điểm M(4; – 2). a) Chứng minh điểm M(4; – 2) thuộc đường tròn (C). b) Xác định tâm và bán kính của (C). c) Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M

Cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y – 2)² = 25 và điểm M(4; – 2).

a) Chứng minh điểm M(4; – 2) thuộc đường tròn (C).

b) Xác định tâm và bán kính của (C).

c) Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ (H.7.16). Từ đó, viết phương trình đường thẳng ∆.

Hướng dẫn giải

a) Thay tọa độ điểm M(4; – 2) vào phương trình đường tròn (C) ta được:

(4 – 1)² + (– 2 – 2)² = 25 ⇔ 3² + (– 4)² = 25 ⇔ 25 = 25 (luôn đúng).

Vậy điểm M(4; – 2) thuộc đường tròn (C).

b) Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = \(\sqrt {25} \) = 5.

c) Ta có: ∆ ⊥ IM tại M (bán kính đi qua tiếp điểm thì vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm đó).

Do đó một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là vectơ \(\overrightarrow {IM} = \left( {4 - 1;\, - 2 - 2} \right) = \left( {3;\, - 4} \right)\).

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; – 2) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IM} = \left( {3;\, - 4} \right)\) nên phương trình đường thẳng ∆ là: 3(x – 4) – 4(y + 2) = 0 hay 3x – 4y – 20 = 0.