Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 2 và giao điểm các đường chéo

Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 2 và giao điểm các đường chéo là H. Tính độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} \).

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\sqrt 5 \)

D. \(\frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là C

Vì ABCD là hình bình hành nên AH = HC = \(\frac{1}{2}\)AC. Khi đó \(\overrightarrow {AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} + 2.\frac{1}{2}.\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)

Gọi M là trung điểm của DC

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {AM} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {AM} } \right|\)

Xét tam giác ADM vuông tại M, có:

AM² = AD² + DM² = 2² + \({\left( {\frac{2}{2}} \right)^2}\)= 5 (định lí Py – ta – go)

⇔ AM = \(\sqrt 5 \).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AH} } \right| = \sqrt 5 .\)