Cho tam giác ABC có góc B = 135 độ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Diện tích tam giác ABC:

$S=\frac{1}{2}ac.\sin B=\frac{1}{2}ac.\sin {135}^o=\frac{\sqrt{2}}{4}ac$.

Chọn D.

b) Theo định lí sin, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

A.  $R=\frac{a}{\sin A}$sai vì $R=\frac{a}{2\sin A}$

B.$R=\frac{\sqrt{2}}{2}b$

Mà $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{b}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}b$ .

Do đó B đúng.

C.  $R=\frac{\sqrt{2}}{2}c$(loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c).

D.  $R=\frac{\sqrt{2}}{2}a$(loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a).

Chọn B.

c)

A. $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$ .

Vì theo định lí côsin, ta có: a² = b² + c² − 2bc . cosA

Không đủ dữ kiện để suy ra: $a^2=b^2+c^2+\sqrt{2}ab$ .

Do đó A sai.

B. $\frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}$ .

Theo định lí sin, ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

Nên $\frac{b}{\sin A}\ne \frac{a}{\sin B}$ .

Do đó B sai.

C. $\sin B=\frac{-\sqrt{2}}{2}$ .

Vì theo câu a, $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Do đó C sai.

D. b² = c² + a² – 2ca . cos135^o. đúng.

Theo định lý côsin ta có:

b² = c² + a² − 2ca . cosB (*)

Mà  $\widehat{B}=135°$Þ cosB = cos 135^o.

Thay vào (*) ta được: b² = c² + a² − 2ca . cos 135^o.

Do đó D đúng.

Chọn D.