Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Kết nối tri thức

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Kết nối tri thức

Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

1. Phương trình đường tròn

- Điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R khi và chỉ khi

(x – a)² + (y – b)² = R² (1)

Ta gọi (1) là phương trình đường tròn (C).

Nhận xét:

- Phương trình (1) tương đương với: x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – R²) = 0.

- Phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi a² + b² – c > 0. Khi đó, (C) có tâm I(a; b) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$

Ví dụ:

a) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; –1) và bán kính R = 1.

b) Cho phương trình đường tròn x² + y² + 2x + 4y – 5 = 0. Hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn này.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đường tròn (C) có tâm I(2; –1) và bán kính R = 1 là:

(x – 2)² + (y + 1)² = 1 .

b) Từ phương trình x² + y² + 2x + 4y – 5 = 0

⇔ x² + y² – 2.( –1).x – 2.( –2).y + (– 5) = 0

Khi đó a = –1 và b = –2, c = – 5.

Suy ra tâm của đường tròn này là I(–1; –2) và bán kính của đường tròn là:

$R=\sqrt{{(-1)}^2+{(-2)}^2-(-5)}=\sqrt{10}$

Vậy tâm của đường tròn này là: I(–1; –2) và bán kính R= $\sqrt{10}$.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.

Cho điểm M(x₀; y₀) thuộc đường tròn (C): (x – a)² + (y – b)² = R² (tâm I(a; b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến ∆ của (C) tại M(x₀; y₀) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{MI}=(a-x_0;b-y_0)$ và phương trình:

(a – x₀)(x – x₀) + (b – y₀)(y – y₀) = 0.

Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)² + (y + 2)² = 10 và điểm M(0; 1) thuộc đường tròn (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 10 suy ra tâm của (C) là I(1; –2).

Tiếp tuyến của (C) tại M là đường thẳng đi qua M và vuông góc với MI.

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{MI}=(1-0;-2-1)=(1;-3)$ , nên ta có phương trình:

1(x – 0) + (–2)(y – 1) = 0 ⇔ x – 2y + 2 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) là x – 2y + 2 = 0.

Bài tập Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 1: Cho hai điểm A(3; –4 ); B(–3; 4).Viết phương trình đường tròn (C) nhận AB làm đường kính.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3-3;4-(-4\left)\right)=(-6;8)$ ⇒ AB = $\left(\overrightarrow{AB}\right)$ = $\sqrt{{(-6)}^2+8^2}=10$

Gọi M là trung điểm của AB.

Khi đó tọa độ của điểm M thỏa mãn: $\left(\begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{3+(-3)}{2}=0\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-4+4}{2}=0\end{array}\right)$ ⇒ M(0; 0).

Do đường tròn (C) có đường kính là AB nên điểm M chính là tâm của đường tròn và bán kính đường tròn $R=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5$

Phương trình đường tròn (C) là: (x – 0)² + (y – 0)² = 5² ⇔ x² + y² = 25.

Vậy đường tròn (C) có phương trình là x² + y² = 25.

Bài 2: Cho phương trình là x² + y² + 6x + 8y + 7 = 0. Phương trình này có phải là phương trình đường tròn hay không? Nếu có, hãy tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Ta có : x² + y² + 6x + 8y + 7 = 0 ⇔ x² + y² –2.( –3)x –2.( –4)y + 7 = 0.

Suy ra a = –3 ; b = –4 ; c = 7.

Vì a² + b² – c = (–3)² + (–4)² – 7 = 18 > 0 nên x² + y² + 6x + 8y + 7 = 0 là phương trình của một đường tròn (C).

Đường tròn (C) có tâm I(–3; –4) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.

Vậy, phương trình x² + y² + 6x + 8y + 7 = 0 là phương trình của một đường tròn (C) có tâm I(–3; –4) và bán kính R = $3\sqrt{2}$

Bài 3: Một vận động viên ném đĩa vung đĩa theo một đường tròn (C) có phương trình là: x² + y² = $\frac{100}{81}$ .

Khi người đó vung đĩa đến vị trí điểm A( $\frac{6}{9}$; $\frac{8}{9}$ ) thì buông đĩa. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C).

Hướng dẫn giải

Từ phương trình đường tròn (C): x² + y² = $\frac{100}{81}$ suy ra tâm của (C) là O(0; 0).

Tiếp tuyến của (C) tại A( $\frac{6}{9}$; $\frac{8}{9}$ ) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với OA.

Khi đó tiếp tuyến của (C) tại A($\frac{6}{9}$ ; $\frac{8}{9}$ ) có vectơ pháp tuyến , nên có phương trình:

$\frac{6}{9}$(x –$\frac{6}{9}$ ) +$\frac{8}{9}$ (y –$\frac{8}{9}$ ) = 0 ⇔ 3x + 4y – $\frac{50}{9}$ = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại A( $\frac{6}{9}$; $\frac{8}{9}$ ) là 3x + 4y – $\frac{50}{9}$ = 0.

Học tốt Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Các bài học để học tốt Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Toán lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ