Giải Toán 10 trang 37 Tập 1 Kết nối tri thức

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với giải Toán 10 trang 37 Tập 1 trong Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° Toán lớp 10 Tập 1 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 37.

Giải Toán 10 trang 37 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 37 Toán 10 Tập 1: Một chiếc đu quay có bán kính 75m, tâm của vòng quay ở độ cao 90m (H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào Cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay, thì sau 20 phút quay người đó ở độ cao bao nhiêu mét?

Lời giải:

Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ.

Quy ước 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng tọa độ Oxy ứng với 75 m trên thực tế.

Ta có đường tròn đơn vị như hình vẽ với A là vị trí thấp nhất của cabin, M là vị trí của cabin sau 20 phút quay và các điểm P, Q là hình chiếu của điểm M lên các trục tọa độ Ox, Oy.

Vì đi cả vòng quay mất 30 phút nên sau 20 phút, cabin đi quãng đường bằng $\frac{2}{3}$ vòng.

Từ đó suy ra $\widehat{xOM}=\frac{2}{3}.360°-90°=150°$.

Do đó M có tung độ bằng sin150° = $\frac{1}{2}$.

Suy ra OQ = $\frac{1}{2}$, mà 1 đơn vị trong mặt phẳng tọa độ bằng 75 m trên thực tế nên độ dài đoạn thẳng OQ ứng với $75.\frac{1}{2}=37,5$ m trên thực tế.

Do đó, độ cao của cabin sau 20 phút quay là: 37,5 + 90 = 127,5 (m).

Vậy sau 20 phút quay người ngồi trong cabin ở độ cao 127,5 m.

Bài 3.1 trang 37 Toán 10 Tập 1: Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a) (2sin30⁰ + cos135⁰ – 3tan150⁰).(cos180⁰ – cot60⁰);

b) sin²90⁰ + cos²120⁰ + cos²0⁰ – tan²60⁰ + cot²135⁰;

c) cos60⁰.sin30⁰ + cos²30⁰.

Chú ý: ${\sin }^2\alpha ={\left(\sin \alpha \right)}^2,co{\mathrm{s}}^2\alpha ={\left(co\mathrm{s}\alpha \right)}^2,$

${\tan }^2\alpha ={\left(\tan \alpha \right)}^2,{\cot }^2\alpha ={\left(\cot \alpha \right)}^2.$

Lời giải:

a) (2sin30° + cos135° – 3tan150°).(cos180° – cot60°)

= (2sin30° –  cos45° + 3tan30°).(– 1 – tan30°)

$=\left(2.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+3.\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\left(-1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

$=\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}\right)\left(\frac{-1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)$

$=\frac{\sqrt{2}-1+\sqrt{6}}{\sqrt{2}}.\frac{-1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$=\frac{-\left(1+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}-1\right)}{\sqrt{6}}$

b) sin²90° + cos²120° + cos²0° – tan²60° + cot²135°

= (sin90°)² + (cos120°)² + (cos0°)² – (tan60°)² + (cot135°)²

= (sin90°)² + (cos60°)² + (cos0°)² – (tan60°)² + (cot45°)²

$=1^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2$

$=1+\frac{1}{4}+1-3+1$

$=\frac{1}{4}$

c) cos60°.sin30° + cos²30°

= cos60°.sin30° + (cos30°)²

$=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1$

Bài 3.2 trang 37 Toán 10 Tập 1: Đơn giản các biểu thức sau:

a) sin100⁰ + sin80⁰ + cos16⁰ + cos 164⁰;

b) 2sin(180⁰ – α)cotα – cos(180⁰ – α).tanα.cos(180⁰ – α) với 0⁰ < α < 90⁰.

Lời giải:

a) sin100° + sin80° + cos16° + cos 164°

= sin(180° – 80°) + sin80° + cos(180° – 164°) + cos164°

= sin80° + sin80° – cos164° + cos164°     

= 2sin80°.

b) Với $0°<\alpha <90°$ , ta có:

$2\sin \left(180°-\alpha \right).\cot \alpha -c\text{os}\left(180°-\alpha \right).\tan \alpha .c\text{ot}\left(180°-\alpha \right)$

$=2\sin \alpha .\cot \alpha -\left(-c\text{os}\alpha \right).\tan \alpha .\left(-c\text{ot}\alpha \right)$

$=2\sin \alpha .\cot \alpha -c\text{os}\alpha .\tan \alpha .c\text{ot}\alpha$

$=2\sin \alpha .\frac{\text{cos}\alpha }{\sin \alpha }-c\text{os}\alpha .\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }.\frac{\text{cos}\alpha }{\sin \alpha }$

$=2\cos \alpha -c\text{os}\alpha$$=\cos \alpha$

Bài 3.3 trang 37 Toán 10 Tập 1: Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin²α + cos²α = 1;

b) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }\left(\alpha \ne {90}^0\right);$

c) $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(0^0<\alpha <{180}^0\right).$

Lời giải:

a)

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Từ M kẻ MH ⊥ Ox và MK ⊥ Oy. Khi đó:

OH = |cosα| , OK = |sinα| = sinα.

Xét tam giác OHK vuông tại O, ta có:

OH² + OK² = HK² (định lí Pythagore)

Mà HK = OM = 1 (tứ giác OHMK là hình chữ nhật)

Do đó, OH² + OK² = 1

Suy ra |cosα|² + (sinα)² = 1 hay sin²α + cos²α = 1 (đpcm).

b) Ta có:

$1+{\tan }^2\alpha =1+{\left(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\right)}^2=1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }$

$=\frac{{\text{cos}}^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }=\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }\left(\alpha \ne {90}^0\right);$

c) Ta có:

$1+{\cot }^2\alpha =1+{\left(\frac{cos\alpha }{\sin \alpha }\right)}^2=1+\frac{co{s}^2\alpha }{{\text{sin}}^2\alpha }$

$=\frac{{\text{cos}}^2\alpha +{\sin }^2\alpha }{{\text{sin}}^2\alpha }=\frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }\left(0^0<\alpha <{180}^0\right);$

Bài 3.4 trang 37 Toán 10 Tập 1: Cho góc α ( 0⁰ < α < 180⁰) thỏa mãn tanα = 3.

Tính giá trị của biểu thức: $P=\frac{2\sin \alpha -3cos\alpha }{3\sin \alpha +2cos\alpha }.$

Lời giải:

Do 0° < α < 180° và tanα = 3 (xác định) nên cosα ≠ 0.

Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho cosα ta được:

$P=\frac{2.\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }-3}{3.\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }+2}=\frac{2\tan \alpha -3}{3\tan \alpha +2}=\frac{2.3-3}{3.3+2}=\frac{3}{11}.$

Vậy với α (0° < α < 180°)  thỏa mãn tanα = 3 thì $P=\frac{3}{11}$

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° Kết nối tri thức hay khác:

• Giải Toán 10 trang 33
• Giải Toán 10 trang 34
• Giải Toán 10 trang 35
• Giải Toán 10 trang 36