Giải Toán 10 trang 45 Tập 2 Kết nối tri thức

Haylamdo biên soạn và sưu tầm với giải Toán 10 trang 45 Tập 2 trong Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Toán lớp 10 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 45.

Giải Toán 10 trang 45 Tập 2 Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 45 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(4; – 5), N(2; – 1), P(3; – 8). 

Lời giải:

Các đoạn thẳng MN, NP tương ứng có trung điểm là A(3; – 3), B$\left(\frac{5}{2};\frac{-9}{2}\right)$. Đường thẳng trung trực d₁ của đoạn thẳng MN đi qua điểm A(3; – 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{MN}=\left(-2;4\right)$. 

Vì $\overrightarrow{MN}=\left(-2;4\right)$ cùng phương với $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)$ nên d₁ cũng nhận $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)$ là vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình của d₁ là: 1(x – 3) – 2(y + 3) = 0 hay x – 2y – 9 = 0. 

Đường thẳng trung trực d₂ của đoạn thẳng NP đi qua B$\left(\frac{5}{2};\frac{-9}{2}\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{NP}=\left(1;-7\right)$, do đó phương trình d₂ là: $1\left(x-\frac{5}{2}\right)-7\left(y+\frac{9}{2}\right)=0$ hay x – 7y – 34 = 0. 

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm M, N, P nên I là giao điểm của d₁ và d₂. 

Vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y-9=0\\ x-7y-34=0\end{array}\right.$. 

Suy ra I(– 1; – 5). Đường tròn (C) có bán kính là IM =$\sqrt{{\left(4-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-5-\left(-5\right)\right)}^2}=5$.

Vậy phương trình của (C) là: (x + 1)² + (y + 5)² = 25.

Vận dụng 1 trang 45 Toán 10 Tập 2: Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H.7.15a) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy π = 3,14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai. 

Lời giải:

Gọi bán kính của bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là x, y (m) (x, y > 0). 

Chu vi của bể hình tròn là: 2πx = 2 . 3,14 . x = 6,28x  (m).

Vì hai bể còn lại là hai bể có dạng nửa hình tròn bằng nhau nên tổng chu vi của hai bể này bằng tổng chu vi của đường tròn bán kính y (m) với 2 lần độ dài đường kính của đường tròn đó, do đó chu vi của hai bể nửa hình tròn là:

2πy + 2 . 2y = 2 . 3,14 . y + 4y = 10,28y (m).

Tổng chu vi của ba bể là 32 m nên ta có: 6,28x + 10,28y = 32 hay 1,57x + 2,57y – 8 = 0.

Diện tích của bể hình tròn là: πx² = 3,14x² (m²). 

Diện tích của hai bể nửa hình tròn là: πy² = 3,14y² (m²). 

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (m²). Khi đó ta có: 

3,14x² + 3,14y² = S hay x²+ y² = $\frac{S}{\mathrm{3,14}}$. 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường tròn (C): x²+ y² =$\frac{S}{\mathrm{3,14}}$ có tâm O(0; 0), bán kính R =$\sqrt{\frac{S}{\mathrm{3,14}}}$ và đường thẳng ∆: 1,57x + 2,57y – 8 = 0. Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để (C) và ∆ ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương. 

Để (C) và ∆ có ít nhất một điểm chung thì khoảng cách từ tâm O của (C) tới ∆ phải nhỏ hơn hoặc bằng bán kính R nên ta có: d(O, ∆) ≤ R.

$\iff \frac{\left|\mathrm{1,57.0}+\mathrm{2,57.0}-8\right|}{\sqrt{{\left(\mathrm{1,57}\right)}^2+{\left(\mathrm{2,57}\right)}^2}}\le \sqrt{\frac{S}{\mathrm{3,14}}}$

$\iff \mathrm{2,66}\le \sqrt{\frac{S}{\mathrm{3,14}}}\iff \frac{S}{\mathrm{3,14}}\ge \mathrm{7,0756}\iff S\ge \mathrm{22,22}$

Giá trị nhỏ nhất của S là 22,22 m², khi đó x² + y² = 7,0756         (*). 

Từ 1,57x + 2,57y – 8 = 0 ⇒ x = $\frac{8-\mathrm{2,57}y}{\mathrm{1,57}}$ thay vào (*) ta được: 

${\left(\frac{8-\mathrm{2,57}y}{\mathrm{1,57}}\right)}^2+y^2=\mathrm{7,0756}$

⇔ (8 – 2,57y)² + (1,57)²y² = 17,44

⇔ 9,0698y² – 41,12y + 46,56 = 0 

⇔ y ≈ 2,34 hoặc y ≈ 2,2. 

Với y ≈ 2,34 suy ra x =$\frac{8-\mathrm{2,57.2,34}}{\mathrm{1,57}}$ ≈ 1,27.

Với y ≈ 2,2 suy ra x =$\frac{8-\mathrm{2,57.2,2}}{\mathrm{1,57}}$ ≈ 1,45. 

Vậy bán kính bể sục hình tròn là 1,27 m thì bể sục nửa hình tròn là 2,34 m hoặc bán kính của bể sục hình tròn là 1,45 m thì bể sục nửa hình tròn là 2,2 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Kết nối tri thức hay khác:

• Giải Toán 10 trang 43

• Giải Toán 10 trang 44

• Giải Toán 10 trang 46

• Giải Toán 10 trang 47