Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C) : x^2 + y^2 – 2x + 4y + 4 = 0

Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C) : x² + y² – 2x + 4y + 4 = 0 . Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2y + 5 = 0

A. 2x + 5 y + $\sqrt{5}-4$ = 0 và 2x + 5 y $-\sqrt{5}-4$ = 0;          

B. 2x – 5 y + $\sqrt{5}-4$ = 0 và 2x – 5 y $-\sqrt{5}-4$ = 0;   

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(1; −2) và bán kính R = 1

Đường thẳng x + 2y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}(1;2)$

Theo giả thiết ta có: đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng x + 2y + 5 = 0 nên đường thẳng ∆ nhận $\overrightarrow{n_1}$ làm vectơ chỉ phương. Do đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{n_{\Delta }}(2;-1)$.

Phương trình đường thẳng ∆ có dạng 2x – y + m = 0

Vì ∆ là tiếp tuyến của (C) nên d(I; ∆) = R

⇔ $\frac{\left|2+2+m\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}$ = 1

⇔ $\left|4+m\right|=\sqrt{5}$ 

⇔ $\left[\begin{array}{l}4+m=\sqrt{5}\\ 4+m=-\sqrt{5}\end{array}\right.$ 

⇔ $\left[\begin{array}{l}m=\sqrt{5}-4\\ m=-\sqrt{5}-4\end{array}\right.$

+ Với m = $\sqrt{5}-4$ thì phương trình của ∆ là: 2x – y + $\sqrt{5}-4$ = 0

+ Với m = $-\sqrt{5}-4$ thì phương trình của ∆ là: 2x – y $-\sqrt{5}-4$ = 0