Bài 5.2 trang 109 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Cho hai dãy số không âm (u) và (v) với và . Tìm các giới hạn sau:

Giải Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số - Kết nối tri thức

Bài 5.2 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$. Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n^2}{v_n-u_n}$;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{u_n+2v_n}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$, do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n^2=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n.u_n\right)=2.2=4$.

Và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(v_n-u_n\right)=3-2=1$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n^2}{v_n-u_n}=\frac{4}{1}=4$.

b) Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }2=2$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=3$, do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2v_n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2.v_n\right)=2.3=6$.

Và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+2v_n\right)=2+6=8$.

Vì u_n ≥ 0, v_n ≥ 0 với mọi n nên u_n + 2v_n ≥ 0 với mọi n và $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+2v_n\right)=8>0$.

Do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{u_n+2v_n}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số hay, chi tiết khác:

• HĐ1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0 ....

• Luyện tập 1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{3^n}=0$ ....

• HĐ2 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn ....

• Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{{3.2}^n-1}{2^n}$ . Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=3$ ....

• Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn ....

• HĐ3 trang 106 Toán 11 Tập 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn Cho hai dãy số (un) và (vn)....

• Luyện tập 3 trang 107 Toán 11 Tập 1: Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2n^2+1}}{n+1}$ ....

• HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1: Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau ....

• Luyện tập 4 trang 108 Toán 11 Tập 1: Tính tổng $S=2+\frac{2}{7}+\frac{2}{49}+\mathrm{...}+\frac{2}{7^{n-1}}+\mathrm{...}$ ....

• Vận dụng 2 trang 108 Toán 11 Tập 1: Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h ....

• HĐ5 trang 108 Toán 11 Tập 1: Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi ....

• Luyện tập 5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n-\sqrt{n}\right)$. ....

• Bài 5.1 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: ....

• Bài 5.3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi: ....

• Bài 5.4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số ....

• Bài 5.5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg ....

• Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3) ....