Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử u là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (u) có giới hạn là 0.

Giải Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số - Kết nối tri thức

Vận dụng 1 trang 106 Toán 11 Tập 1: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử u_n là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (u_n) có giới hạn là 0.

Lời giải:

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bỏng nảy lên một độ cao là u₁ = $\frac{2}{3}\cdot 5$ .

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₁ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là $u_2=\frac{2}{3}{u}_1=\frac{2}{3}\cdot \left(\frac{2}{3}\cdot 5\right)=5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2$.

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là $u_3=\frac{2}{3}{u}_2=\frac{2}{3}\cdot \left(5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right)=5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^3$ và cứ tiếp tục như vậy.

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là $u_n=5\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ .

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$ , do đó, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$ , suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số hay, chi tiết khác:

• HĐ1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0 ....

• Luyện tập 1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{3^n}=0$ ....

• HĐ2 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn ....

• Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{{3.2}^n-1}{2^n}$ . Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=3$ ....

• HĐ3 trang 106 Toán 11 Tập 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn Cho hai dãy số (un) và (vn)....

• Luyện tập 3 trang 107 Toán 11 Tập 1: Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2n^2+1}}{n+1}$ ....

• HĐ4 trang 107 Toán 11 Tập 1: Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau ....

• Luyện tập 4 trang 108 Toán 11 Tập 1: Tính tổng $S=2+\frac{2}{7}+\frac{2}{49}+\mathrm{...}+\frac{2}{7^{n-1}}+\mathrm{...}$ ....

• Vận dụng 2 trang 108 Toán 11 Tập 1: Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h ....

• HĐ5 trang 108 Toán 11 Tập 1: Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi ....

• Luyện tập 5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n-\sqrt{n}\right)$. ....

• Bài 5.1 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau: ....

• Bài 5.2 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) ....

• Bài 5.3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi: ....

• Bài 5.4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số ....

• Bài 5.5 trang 109 Toán 11 Tập 1: Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg ....

• Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3) ....