Bài 5.4 trang 109 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

Giải Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số - Kết nối tri thức

Bài 5.4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12) = 1,121212...;

b) 3,(102) = 3,102102102...

Lời giải:

a) Ta có: 1,(12) = 1,121212... = 1 + 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + ...

= 1 + 12 . 10^-2 + 12 . 10^-4 + 12 . 10^-6 + ...

= 1 + 12 . (10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ...)

Do 10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10^-2 và q = 10^-2 nên

10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ... = $\frac{10^{- 2}}{1 - 10^{- 2}} = \frac{1}{99}$ .

Vậy 1,(12) = $1 + 12. \frac{1}{99} = \frac{33}{33} + \frac{4}{33} = \frac{37}{33}$ .

b) Ta có: 3,(102) = 3,102102102... = 3 + 0,102 + 0,000102 + 0,000000102 + ...

= 3 + 102 . 10^-3 + 102 . 10^-6 + 102 . 10^-9 + ...

= 3 + 102 . (10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ...)

Do 10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10^-3 và q = 10^-3 nên

10^-3 + 10^-6 + 10^-9 + ... = $\frac{10^{- 3}}{1 - 10^{- 3}} = \frac{1}{999}$ .

Vậy 3,(102) = 3 + $102. \frac{1}{999} = 3 + \frac{34}{333} = \frac{1033}{333}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số hay, chi tiết khác: