Giải Toán 12 trang 63 Tập 1 Cánh diều

---

Với Giải Toán 12 trang 63 Tập 1 trong Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian Toán 12 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 63.

Giải Toán 12 trang 63 Tập 1 Cánh diều

Bài 1 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Vectơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ bằng vectơ nào dưới đây?

A. $\overrightarrow{A^{\text{'}}C}$.

B. $\overrightarrow{C{A}^{\text{'}}}$.

C. $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$.

D. $\overrightarrow{C^{\text{'}}A}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Theo quy tắc hình hộp, ta có $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{A^{\text{'}}A}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A^{\text{'}}C}$.

Bài 2 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$;

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$.

Lời giải:

a) Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$ .

Do đó,

b) Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$ .

Do đó,

Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính:

a) $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}\cdot \overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}};\overrightarrow{D^{\text{'}}A}\cdot \overrightarrow{BC}$ ;

b) Các góc $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}D},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right);\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)$ .

Lời giải:

a)

Ta có: $\overrightarrow{A^{\text{'}}B}=\overrightarrow{D^{\text{'}}C}$.

Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}C},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CDD'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$ . Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}B},\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=45°$ .

Ta có , 

Do đó, 

Ta có: $\overrightarrow{D^{\text{'}}A}=\overrightarrow{C^{\text{'}}B}$. Do đó, $\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}A},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{C^{\text{'}}B},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{CB{C}^{\text{'}}}$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{CB{C}^{\text{'}}}=45°$. Vậy $\left(\overrightarrow{D^{\text{'}}A},\overrightarrow{BC}\right)=45°$ .

Ta có ,

Do đó,

b)

Ta có: $\overrightarrow{A^{\text{'}}D}=\overrightarrow{B^{\text{'}}C}$ .

Do đó, $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}D},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\left(\overrightarrow{B^{\text{'}}C},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=\widehat{C{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên CBB'C' là hình vuông.

Suy ra $\widehat{C{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=45°$ . Vậy $\left(\overrightarrow{A^{\text{'}}D},\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right)=45°$ .

Ta có: $\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}}$ .

Do đó, $\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)=\left(\overrightarrow{B{C}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)=\widehat{C^{\text{'}}BD}$ .

Ta tính được BC' = BD = C'D = $a\sqrt{2}$  nên tam giác C'BD là tam giác đều.

Suy ra $\widehat{C^{\text{'}}BD}=60°$ .

Vậy $\left(\overrightarrow{A{D}^{\text{'}}},\overrightarrow{BD}\right)=60°$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian hay khác:

• Giải Toán 12 trang 56

• Giải Toán 12 trang 58

• Giải Toán 12 trang 59

• Giải Toán 12 trang 60

• Giải Toán 12 trang 61

• Giải Toán 12 trang 64