Giải Toán 12 trang 64 Tập 1 Cánh diều

❮ Bài trước Bài sau ❯

Với Giải Toán 12 trang 64 Tập 1 trong Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian Toán 12 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 64.

Giải Toán 12 trang 64 Tập 1 Cánh diều

Bài 4 trang 64 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi G là trọng tâm của tam giác AB'D'. Chứng minh rằng $\vec{A^{'} C} = 3 \vec{A^{'} G}$ .

Lời giải:

Bài 4 trang 64 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Vì G là trọng tâm của tam giác AB'D' nên với điểm A', ta luôn có:

$\vec{A^{'} G} = \frac{1}{3} (\vec{A^{'} A} + \vec{A^{'} B^{'}} + \vec{A^{'} D^{'}})$ .

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên $\vec{A^{'} A} + \vec{A^{'} B^{'}} + \vec{A^{'} D^{'}} = \vec{A^{'} C}$ (quy tắc hình hộp).

Từ đó suy ra $\vec{A^{'} G} = \frac{1}{3} \vec{A^{'} C}$ . Vậy $\vec{A^{'} C} = 3 \vec{A^{'} G}$ .

Bài 5 trang 64 Toán 12 Tập 1: Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật ABCD, mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc E của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° (Hình 16). Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng.

Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}, \vec{F_{4}}$ đều có cường độ là 4 700 N và trọng lượng của khung sắt là 3 000 N.

Bài 5 trang 64 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Lời giải:

Gọi A₁, B₁, C₁, D₁ lần lượt là các điểm sao cho

$\vec{E A_{1}} = \vec{F_{1}}, \vec{E B_{1}} = \vec{F_{2}}, \vec{E C_{1}} = \vec{F_{3}}, \vec{E D_{1}} = \vec{F_{4}}$ .

Bài 5 trang 64 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Vì EA, EB, EC, ED có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60° nên EA₁, EB₁, EC₁, ED₁ bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) một góc bằng 60°.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên A₁B₁C₁D₁ cũng là hình chữ nhật.

Gọi O là tâm của hình chữ nhật A₁B₁C₁D₁.

Ta suy ra EO ⊥ (A₁B₁C₁D₁).

Do đó, góc giữa đường thẳng EA₁ và mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) bằng góc EA₁O.

Suy ra $\hat{E A_{1} O} = 60 °$ .

Ta có Bài 5 trang 64 Toán 12 Cánh diều Tập 1 nên EA₁ = EB₁ = EC₁ = ED₁ = 4 700.

Tam giác EOA₁ vuông tại O nên EO = EA₁ sin $\hat{E A_{1} O}$ = 4 700 sin 60° = 2 350 $\sqrt{3}$ .

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\vec{E A_{1}} = \vec{E O} + \vec{O A_{1}}, \vec{E B_{1}} = \vec{E O} + \vec{O B_{1}}$ , $\vec{E C_{1}} = \vec{E O} + \vec{O C_{1}}$ , $\vec{E D_{1}} = \vec{E O} + \vec{O D_{1}}$ .

Vì O là trung điểm của A₁C₁ và B₁D₁ nên

$\vec{O A_{1}} + \vec{O C_{1}} = \vec{0}, \vec{O B_{1}} + \vec{O D_{1}} = \vec{0}$ .

Từ đó suy ra $\vec{E A_{1}} + \vec{E B_{1}} + \vec{E C_{1}} + \vec{E D_{1}} = 4 \vec{E O}$ .

Do đó, $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} + \vec{F_{4}} = 4 \vec{E O}$ .

Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} + \vec{F_{4}} = \vec{P}$ , ở đó $\vec{P}$ là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.

Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là

Bài 5 trang 64 Toán 12 Cánh diều Tập 1

Vì trọng lượng của khung sắt là 3 000 N nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là

$9400 \sqrt{3} - 3000 \approx 13 281$ (N).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯