Giải Toán 12 trang 81 Tập 1 Cánh diều

---

Với Giải Toán 12 trang 81 Tập 1 trong Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ Toán 12 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 81.

Giải Toán 12 trang 81 Tập 1 Cánh diều

Bài 5 trang 81 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(3;2;-1\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;1;2\right)$. Tính côsin của góc $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải:

Ta có

Bài 6 trang 81 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(– 2; 3; 0), B(4; 0; 5), C(0; 2; – 3).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tính $\cos \widehat{BAC}$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(6;-3;5\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(2;-1;-3\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left(6;-3;5\right)\ne k\overrightarrow{AC}=\left(2k;-k;-3k\right)$ với mọi k ∈ ℝ, do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có 

Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(-4;2;-8\right)$.

Suy ra

Chu vi tam giác ABC là C = AB + AC + BC = $\sqrt{70}+\sqrt{14}+2\sqrt{21}$.

c) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là (x_G; y_G; z_G).

Ta có $x_G=\frac{-2+4+0}{3}=\frac{2}{3}$; $y_G=\frac{3+0+2}{3}=\frac{5}{3};z_G=\frac{0+5+\left(-3\right)}{3}=\frac{2}{3}$ .

Vậy $G\left(\frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}\right)$ .

d) Ta có

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ vuông góc với nhau hay hai đường thẳng AB và AC vuông góc với nhau nên $\widehat{BAC}=90°$. Vậy $\cos \widehat{BAC}$ = 0.

Bài 7 trang 81 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; – 1; 1), C'(4; 5; – 5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ khác $\overrightarrow{0}$  vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$;

b) $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{BD}$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;1\right)$ , $\overrightarrow{AD}=\left(0;-1;0\right)$,

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD là hình bình hành, do đó

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\left(1+0;1+\left(-1\right);1+0\right)=\left(1;0;1\right)$.

Ta có $\overrightarrow{BD}=\left(-1;-2;-1\right)$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên $\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{BD}=\left(-1;-2;-1\right)$ .

Ta có 

Chọn $\overrightarrow{a}=\left(2;0;-2\right)$, vectơ $\overrightarrow{a}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$.

b) Ta có $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\left(3;5;-6\right)$, $\overrightarrow{BD}=\left(-1;-2;-1\right)$.

Chọn $\overrightarrow{b}=\left(-17;9;-1\right)$, vectơ $\overrightarrow{b}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{BD}$.

Bài 8 trang 81 Toán 12 Tập 1: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho tam giác ABC đều (Hình 38). Độ dài của ba đoạn dây OA, OB, OC đều bằng L. Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 in (1 inch = 2,54 cm). Gọi F là độ lớn của các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó, F = F(L) là một hàm số với biến số là L.

a) Xác định công thức tính hàm số F = F(L).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số F = F(L).

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.

Lời giải:

a) Ta có 18 in = 45,72 cm = 0,4572 m.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Vì tam giác ABC đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do đó, GA = GB = GC = 0,4572 m.

Theo bài ra ta có OA = OB = OC = L nên OG ⊥ (ABC) và 

Do đó, 

Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho: $\overrightarrow{F_1}=c\overrightarrow{OA};\overrightarrow{F_2}=c\overrightarrow{OB};\overrightarrow{F_3}=c\overrightarrow{OC}$ .

Suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=c\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$.

Theo quy tắc ba điểm ta có

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}\right)$

                     $=3\overrightarrow{OG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{OG}$

(do G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ ).

Do đó, $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=3c\overrightarrow{OG}$.

Mặt khác ta lại có $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{P}$, với $\overrightarrow{P}$ là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Mà trọng lượng tác dụng lên chiếc đèn là 24 N nên 

Từ đó suy ra

Tam giác OAG vuông tại G (do OG ⊥ (ABC)) nên ta suy ra

$OG=\sqrt{O{A}^2-G{A}^2}=\sqrt{L^2-0,{4572}^2}$ (m) với L > 0,4572.

Do đó,

Khi đó,

Vậy $F=F\left(L\right)=\frac{8L}{\sqrt{L^2-0,{4572}^2}}$ với L > 0,4572.

b) Xét hàm số $F=F\left(L\right)=\frac{8L}{\sqrt{L^2-0,{4572}^2}}$ với L ∈ (0,4572; + ∞).

+ Tập xác định: D = (0,4572; + ∞).

+ Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

 Do đó, đường thẳng F = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

 Do đó, đường thẳng L = 0,4572 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Đạo hàm $F^{\text{'}}\left(L\right)=\frac{-8\cdot 0,{4572}^2}{\left(L^2-0,{4572}^2\right)\sqrt{L^2-0,{4572}^2}}$ < 0 với mọi L ∈ (0,4572; + ∞).

+ Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0,4572; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

+ Đồ thị hàm số được vẽ như hình dưới đây:

c) Ta có lực căng tối đa của mỗi sợi dây là 10 N.

Với F(L) = 10, ta có $\frac{8L}{\sqrt{L^2-0,{4572}^2}}=10$ . Từ đó suy ra

$5\sqrt{L^2-0,{4572}^2}=4L$

⇔ 25L² – 5,255796 = 16L²

⇒ L = 0,762 ∈ (0,4572; + ∞).

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là L = 0,762 m = 76,2 cm = 30 in.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay khác:

• Giải Toán 12 trang 74

• Giải Toán 12 trang 75

• Giải Toán 12 trang 76

• Giải Toán 12 trang 80