Bài 2.22 trang 72 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

❮ Bài trước Bài sau ❯

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 0; 1), B(0; −3; 1) và C(4; −1; 4).

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Bài 2.22 trang 72 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 0; 1), B(0; −3; 1) và C(4; −1; 4).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng $\hat{B A C} = 90 °$ .

c) Tính $\hat{A B C}$ .

Lời giải:

a) Gọi G(x; y; z) là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó ta có $\{\begin{cases} x = \frac{1 + 0 + 4}{3} \\ y = \frac{0 - 3 - 1}{3} \\ z = \frac{1 + 1 + 4}{3} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5}{3} \\ y = \frac{- 4}{3} \\ z = 2 \end{cases}$ .

Vậy $G (\frac{5}{3}; - \frac{4}{3}; 2)$ .

b) Có $\vec{A B} = (0 - 1; - 3 - 0; 1 - 1) = (- 1; - 3; 0)$ ; $\vec{A C} = (4 - 1; - 1 - 0; 4 - 1) = (3; - 1; 3)$ .

Vì $\vec{A B} . \vec{A C} = (- 1) .3 + (- 3) . (- 1) + 0.3 = 0$ .

Do đó $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ hay $\hat{B A C} = 90 °$ .

c) Có $\vec{B A} = - \vec{A B} = (1; 3; 0); |\vec{B A}| = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ;

$\vec{B C} = (4 - 0; - 1 + 3; 4 - 1) = (4; 2; 3); |\vec{B C}| = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$ .

Ta có $\hat{A B C} = (\vec{B A}, \vec{B C})$ .

Có $\cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = \frac{\vec{B A} . \vec{B C}}{|\vec{B A}| . |\vec{B C}|}$ $= \frac{1.4 + 3.2 + 0.3}{\sqrt{10} . \sqrt{29}} = \frac{\sqrt{290}}{29}$ .

Do đó $\hat{A B C} \approx 54 °$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯