15 Bài tập Luyện tập hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 8

Đáp án đúng là: B

Ta có $x^2+6x+9=x^2+2x.3+3^2={\left(x+3\right)}^2$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: P = $x^3-3x^2+3x-1+1$ = ${\left(x-1\right)}^3+1$

Thay x = 1001 vào P, ta được:

P = ${\left(1001-1\right)}^3+1={1000}^3+1$

Đáp án đúng là: A

37² - 13² = (37 - 13)(37 + 13)

= 24.50 = 1200

Đáp án đúng là: B

$x^2-2xy+y^2-81$ = $\left(x^2-2xy+y^2\right)-81$ (nhóm 3 hạng tử đầu để xuất hiện bình phương một hiệu)

= (x - y)² - 9² (áp dụng hằng đẳng thức ${\text{A}}^{\text{2}}-{\text{B}}^{\text{2}}\text{=}\left(\text{A}-\text{B}\right)\left(\text{A + B}\right)$

= (x - y - 9)(x - y + 9)

Đáp án đúng là: A

Ta có: 2x² - 4x + 2 = 0

2(x² - 2x + 1) = 0

2(x - 1)² = 0

x - 1 = 0

x = 1

Vậy x = 1

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\left(2x-5\right)}^2-4{\left(x-2\right)}^2=0$

${\left(2x-5\right)}^2-{\left[2\left(x-2\right)\right]}^2=0$

${\left(2x-5\right)}^2-{\left(2x-4\right)}^2=0$

$\left(2x-5+2x-4\right)\left(2x-5-2x+4\right)=0$

(4x - 9).(-1) = 0

4x = 9

x = $\frac{9}{4}$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $4b^2{c}^2-{\left(c^2+b^2-a^2\right)}^2$

= ${\left(2bc\right)}^2-{\left(c^2+b^2-a^2\right)}^2$

= $\left(2bc+c^2+b^2-a^2\right)\left(2bc-c^2-b^2+a^2\right)$

= $\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]\left[a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)\right]$

= $\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]\left[a^2-{\left(b-c\right)}^2\right]$

= $\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)$

Đáp án đúng là: D

$x^2+2x+1-y^2=\left(x^2+2x+1\right)-y^2$ (nhóm hạng tử)

= ${\left(x+1\right)}^2-y^2$ (áp dụng hằng đẳng thức)

= $\left(x+1-y\right)\left(x+1+y\right)$

Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức, ta được:

$\left(94,5+1-4,5\right)\left(94,5+1+4,5\right)$

= 91.100 = 9100

Đáp án đúng là: B

Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2\text{k}-1;2\text{k}+1(\text{k}\in \mathbb{N}*)$

Theo bài ra ta có:

${\left(2\text{k}+1\right)}^2-{\left(2\text{k}-1\right)}^2$ = $4{\text{k}}^2+4\text{k}+1-4{\text{k}}^2+4\text{k}-1$ = $8\text{k\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}⋮8,\forall \text{k}\in \mathbb{N}*$

Đáp án đúng là: A 

Ta có: 5x² - 10x + 5 = 0

⇔ 5(x² - 2x + 1) = 0

⇔ (x - 1)² = 0

⇔ x - 1 = 0

⇔ x = 1

Đáp án đúng là: C

Ta có: A = $x^4+3x^3-27x-81$

= $\left(x^4-81\right)+\left(3x^3-27x\right)$

= $\left(x^2-9\right)\left(x^2+9\right)+3x\left(x^2-9\right)$

= $\left(x^2-9\right)\left(x^2+3x+9\right)$

Ta có: $x^2+3x+9$ = $x^2+2\cdot \frac{3}{2}x+\frac{9}{4}+\frac{27}{4}\ge \frac{27}{4}>0$ ∀ x ∈ ℝ.

Mà |x| < 3 nên x² < 9 hay x² - 9 < 0.

Do đó A = $\left(x^2-9\right)\left(x^2+3x+9\right)<0$ khi |x| < 3.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $x^6-y^6={\left(x^3\right)}^2-{\left(y^3\right)}^2=\left(x^3+y^3\right)\left(x^3-y^3\right)$

$\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: B = ${\text{ x}}^{\text{3}}{\text{\hspace{0.33em}+ 3x}}^{\text{2}}{\text{y + 3xy}}^{\text{2}}{\text{\hspace{0.33em}+ y}}^{\text{3}}{\text{\hspace{0.33em}+ x}}^{\text{2}}{\text{\hspace{0.33em}+ 2xy + y}}^{\text{2}}$

= $\left(x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3\right)+\left({\text{x}}^{\text{2}}{\text{\hspace{0.33em}+ 2xy + y}}^{\text{2}}\right)$

= ${\left(x+y\right)}^3+{\left(x+y\right)}^2$

= ${\left(x+y\right)}^2\left(x+y+1\right)$

Vì x = 20 – y nên x + y = 20.

Thay x + y = 20 vào B = ${\left(x+y\right)}^2\left(x+y+1\right)$, ta được

B = (20)²(20 + 1) = 400.21 = 8400.

Vậy B > 8300 khi x = 20 – y.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

• ${\text{x}}^2-6\text{x}+9=x^2-2.3x+3^2={\left(\text{x}-3\right)}^2$ nên A đúng.

• $\frac{{\text{x}}^2}{4}+2\text{xy}+4{\text{y}}^2$ = ${\left(\frac{x}{2}\right)}^2\mathrm{.2.2}y+{\left(2y\right)}^2$ = ${\left(\frac{\text{x}}{2}+2\text{y}\right)}^2$ nên B sai, C đúng.

• $4{\text{x}}^2-4\text{xy}+{\text{y}}^2={\left(2x\right)}^2-2.2x.y+y^2={(2\text{x}-\text{y})}^2$ nên D đúng.

Đáp án đúng là: C

Từ đẳng thức đã cho suy ra a³ + b³ + c³ – 3abc = 0

$b^3+c^3=\left(b+c\right)\left(b^2+c^2-bc\right)$

= $\left(b+c\right)\left[{\left(b+c\right)}^2-3bc\right]$

= ${\left(b+c\right)}^3-3bc\left(b+c\right)$.

Khi đó $a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+\left(b^3+c^3\right)-3abc$

= $a^3+\left(b^3+c^3\right)-3abc\left(b+c\right)-3abc$

= $\left(a+b+c\right)\left(a^2-a\left(b+c\right)+{\left(b+c\right)}^2\right)-\left[3bc\left(b+c\right)+3abc\right]$.

Do đó $a^3+\left(b^3+c^3\right)-3abc$ = $\left(a+b+c\right)\left(a^2-a\left(b+c\right)+{\left(b+c\right)}^2\right)-3bc\left(a+b+c\right)$

= $\left(a+b+c\right)\left(a^2-a\left(b+c\right)+{\left(b+c\right)}^2-3bc\right)$

= $\left(a+b+c\right)\left(a^2-a\left(b+c\right)+{\left(b+c\right)}^2-3bc\right)$

= $\left(a+b+c\right)\left(a^2-ab-ac+b^2+2bc+c^2-3bc\right)$

= $\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)$

Do đó nếu $a^3+\left(b^3+c^3\right)-3abc=0$ thì a + b +c = 0 hoặc $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$

Mà $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc$ = $\left[{\left(a-b\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2\right]$

Nếu ${\left(a-b\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2=0$ $\iff \left\{\begin{array}{c}a-b=0\\ b-c=0\\ a-c=0\end{array}\right.\Rightarrow a=b=c$.

Vậy $a^3+\left(b^3+c^3\right)-3abc=0$ thì a = b = c hoặc a + b + c = 0.