Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải - Toán lớp 10


Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Với Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập phân tích vectơ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

A. Lí thuyết.

- Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải không cùng phương. Khi đó mọi vectơ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải.

Ôn lại các quy tắc: Quy tắc ba điểm, quy tắc trừ, quy tắc hình bình hành.

Ôn lại các tính chất: Tính chất phép cộng vectơ, tích của vectơ với một số, trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác.

B. Các dạng bài.

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải: Phân tích và biến đổi các vectơ để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau hoặc ta cũng có thể biến đổi đẳng thức véctơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức vectơ đã được công nhận là đúng.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm của AM. Chứng minh rằng : Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải ( O tùy ý )

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Giải:

+) Ta có M là trung điểm của BC ⇒ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải .

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải ( điều cần phải chứng minh)

+) Ta có M là trung điểm của BC ⇒ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Mà D là trung điểm của AM ⇒ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải (điều cần phải chứng minh)

Bài 2: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai đường chéo AC, BD. Chứng minh rằng: Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Giải:

Ta có:

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải (điều cần phải chứng minh)

Dạng 2: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

Phương pháp giải:

Áp dung định nghĩa về phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. I là giao điểm của AD và EF. Phân tích Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải theo hai vectơ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải .

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Giải:

+) Có FE là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ FE // BC.

⇒ Tam giác AFE đồng dạng với tam giác ABC.

Mà AD là trung tuyến của tam giác ABC ⇒ AI là trung tuyến của tam giác AFE.

⇒ I là trung điểm của FE.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Bài 2: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải . Phân tích vectơ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải theo hai vectơ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải .

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Giải:

Ta có: Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Ta có: Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Phương pháp giải:

Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải. Để chứng minh điều này ta áp dụng các quy tắc biến đổi vectơ (quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm) hoặc xác định hai vectơ trên thông qua tổ hợp trung gian.

Hay lắm đó

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D sao cho Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải . Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.

Giải:

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Vậy B, C, D thẳng hàng.

Bài 2: Cho 4 điểm A, B, I, J. Biết Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải . Chứng minh B, I, J thẳng hàng.

Giải:

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Vậy B, I, J thẳng hàng.

Dạng 4: Chứng minh hai điểm trùng nhau.

Phương pháp giải:

Để chứng minh M và M’ trùng nhau, ta chứng minh Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảihoặc chứng minh Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải với O tùy ý.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ANP trùng với trọng tâm của tam giác CMQ.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Giải:

Gọi trọng tâm của tam giác ANP là G. Ta có:

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải (do N, P là trung điểm của BC, CD)

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải (do Q, M là trung điểm của AD, AB)

Vậy G vừa là trọng tâm của tam giác ANP vừa là trọng tâm của tam giác CMQ.

Bài 2: Biết Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải . Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng AC trùng với trung điểm của đoạn thẳng BD.

Giải:

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Khi Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảithì ABCD là hình bình hành.

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I là tâm hình bình hành ABCD.

Trung điểm của AC và BD trùng nhau ( cùng là I).

Dạng 5: Quỹ tích điểm.

Phương pháp giải:

Đối với bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau:

Nếu Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.

Nếu Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảivới A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k.Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải .

Nếu Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải thì M thuộc đường thẳng qua A song song với BC nếu ; M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng với Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảinếu k > 0; M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng với Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải nếu k < 0.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho tam giác ABC, M là điểm tùy ý trong mặt phẳng. Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn:Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải .

Giải:

Ta có: Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải (1)

Chọn điểm I sao cho Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

(1) ⇔ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiBC. .

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Bài 2: Cho tam giác ABC. Biết Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện trên.

Giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm của BC.

Ta có: Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Vậy tập hợp điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng GD.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

C. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh rằng: Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Đáp án: Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi điểm M nằm trên BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh: Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Đáp án:

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Bài 3: Cho hình thang OABC, M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Đáp án:

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải (luôn đúng)

Bài 4: Cho AK và BM là trung tuyến của tam giác ABC. Phân tích vectơ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảitheo hai vectơ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải .

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Đáp án: Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của AG. Phân tích vectơ Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảitheo Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Đáp án: Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Bài 6: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm của AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK = Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiAC . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Đáp án:

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải; Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải⇒ B, K, I thẳng hàng.

Bài 7: Cho tam giác ABC. Lấy điểm J sao cho Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải. Biết M, N là trung điểm của AB, BC. Chứng minh M, N, J thẳng hàng.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Đáp án:

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải⇒ M, N, J thẳng hàng.

Bài 8: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh trọng tâm tam giác MPR trùng với trọng tâm tam giác NQS.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Đáp án:

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiG vừa là trọng tâm tam giác MPR vừa là trọng tâm tam giác NQS.

Bài 9: Cho tam giác ABC, A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC, A’B’C’ có chung trọng tâm.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Đáp án:

Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A’B’C’.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Vậy điểm G và G’ trùng nhau.

Bài 10: Cho tam giác ABC. Biết Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải. Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện trên.

Đáp án: Tập hợp điểm M là đường trung trực của EF (E, F là trung điểm của AB, AC)

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Bài 11: Cho tứ giác ABCD với k là số tùy ý thuộc đoạn [0;1], lấy các điểm M, N sao cho Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giảiCác dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải. Tìm tập hợp trung điểm I của MN khi k thay đổi.

Đáp án: Tập hợp trung điểm I là đoạn thẳng PQ.

Các dạng bài tập về phân tích vectơ và cách giải

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có lời giải hay khác: