Rút gọn biểu thức (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Rút gọn biểu thức lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Rút gọn biểu thức.

Rút gọn biểu thức (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

- Khai triển nhị thức Newton với các số mũ thấp:

${\left(a+b\right)}^4=C_4^0{a}^4+C_4^1{a}^{3}b+C_4^2{a}^2{b}^2+C_4^{3}a{b}^3+C_4^4{b}^4$

$=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

${\left(a+b\right)}^5=C_5^0{a}^5+C_5^1{a}^{4}b+C_5^2{a}^3{b}^2+C_5^3{a}^2{b}^3+C_5^{4}a{b}^4+C_5^5{b}^5$

$=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

• Với dạng bài toán rút gọn biểu thức từ đa thức cho trước:

- Khai triển đa thức từ đề bài theo công thức.

• Với dạng bài toán liên quan đến rút gọn biểu thức có chứa biến số cần tìm:

- Nhận xét bài toán, từ đó chọn ra hàm số phù hợp với đề bài.

- Khai triển nhị thức tìm được, đưa về dạng biểu thức phù hợp với đề bài.

- Một số bài toán cần sử dụng các tính chất quan trọng của tổ hợp:

$C_n^k=C_n^{n-k}$

$C_n^0+C_n^1+C_n^2+\mathrm{...}+C_n^n=2^n-1$

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^4$.

Hướng dẫn giải:

${\left(1+\sqrt{2}\right)}^4=1^4+{4.1}^3.\sqrt{2}+{6.1}^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^2+\mathrm{4.1.}{\left(\sqrt{2}\right)}^3+{\left(\sqrt{2}\right)}^4$

$=17+12\sqrt{2}$

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^5$.

Hướng dẫn giải:

Ta có ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^5$.

$=2^5+{5.2}^4\left(\sqrt{3}\right)+{10.2}^3{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{10.2}^2{\left(\sqrt{3}\right)}^3+5.2{\left(\sqrt{3}\right)}^4+{\left(\sqrt{3}\right)}^5$

$=362+209\sqrt{3}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Biểu thức rút gọn của ${\left(3+\sqrt{5}\right)}^4$ là

A. $372+176\sqrt{5}$;

B. $376+168\sqrt{5}$;

C. $372+168\sqrt{5}$;

D. $376+176\sqrt{5}$.

Bài 2. Biểu thức rút gọn của ${\left(3+\sqrt{5}\right)}^5$ là

A. $1968+880\sqrt{5}$;

B. $1973+888\sqrt{5}$;

C. $1968+888\sqrt{5}$;

D. $1973+880\sqrt{5}$.

Bài 3. Biểu thức rút gọn của ${\left(4-\sqrt{2}\right)}^4$ là

A. $472-236\sqrt{2}$;

B. $452-236\sqrt{2}$;

C. $472-288\sqrt{2}$;

D. $452-288\sqrt{2}$.

Bài 4. Biểu thức rút gọn của ${\left(4-\sqrt{2}\right)}^5$ là

A. $2336-1604\sqrt{2}$;

B. $2384-1608\sqrt{2}$;

C. $2336-1608\sqrt{2}$;

D. $2384-1604\sqrt{2}$.

Bài 5. Biểu thức rút gọn của ${\left(4+\frac{5}{\sqrt{2}}\right)}^4$ là

A. $\frac{9449}{4}+1140\sqrt{2}$;

B. $\frac{9499}{4}+1144\sqrt{2}$;

C. $\frac{9449}{4}+1144\sqrt{2}$;

D. $\frac{9499}{4}+1140\sqrt{2}$.

Bài 6. Biểu thức rút gọn của ${\left(4-\frac{5}{\sqrt{2}}\right)}^5$ là

A. $14149-\frac{68525\sqrt{2}}{8}$;

B. $12149-\frac{68525\sqrt{2}}{8}$;

C. $14149-\frac{68725\sqrt{2}}{8}$;

D. $12149-\frac{68725\sqrt{2}}{8}$.

Bài 7. Biểu thức rút gọn của ${\left(4+\sqrt{2}\right)}^4+{\left(3-\sqrt{2}\right)}^4$ là

A. $645+156\sqrt{2}$;

B. $640+153\sqrt{2}$;

C. $645+153\sqrt{2}$;

D. $640+156\sqrt{2}$.

Bài 8. Biểu thức rút gọn của ${\left(4+\sqrt{2}\right)}^5+{\left(3-\sqrt{2}\right)}^5$ là

A. $3225+1016\sqrt{2}$;

B. $3227+1016\sqrt{2}$;

C. $3225+1015\sqrt{2}$;

D. $3227+1015\sqrt{2}$.

Bài 9. Tổng $S=C_5^0-2C_5^1+2^2.C_5^2-2^3.C_5^3+2^4.C_5^4+2^5.C_5^5$ có giá trị là

A. −4;

B. −3;

C. −2;

D. −1

Bài 10. Giá trị của n thỏa mãn $C_{2n+1}^{n+1}+C_{2n+1}^{n+2}+\mathrm{...}+C_{2n+1}^{2n}=2^{36}-1$ là

A. 18;

B. 20;

C. 22;

D. 24.