Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay - Toán lớp 10
Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay
Với Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.
A. Phương pháp giải
Bài toán: Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm A. Tìm điểm B là điểm đối xứng với A qua d.
- Bước 1: Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên d.
+ Bước 1.1: Gọi tọa độ điểm H(xH; yH).
Vì điểm H thuộc d nên : axH + byH + c = 0 (1).
+ Bước 1.2: Do AH vuông góc d nên AH→ là VTPT của d.
⇒ AH→(xH - xA; yH - yA) và n→(a;b) cùng phương
⇒ b(xH - xA) - a(yH - yA)= 0 (2)
+ Bước 1.3: giải hệ(1) và (2) ta được tọa độ điểm H.
- Bước 2: H là trung điểm của AB. Từ đó xác định điểm B
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x - y = 0 và điểm M(1; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?
A. (1; 3) B. (2; 2) C. ( 3; -1) D. (4; -1)
Lời giải
+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên a - b = 0 (1)
+ Ta có: MH→(a - 1; b - 3).
Đường thẳng MH vuông góc d nên (MH) ⃗ cùng phương nd→(1; -1)
⇒ 
⇔ -a + 1 = b - 3 hay a + b = 4 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ : 
⇒ Tọa độ điểm H(2; 2).
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0 và điểm M(1; 3). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 2x - y?
A. 1 B. 2 C. 0 D. -1
Lời giải
+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên a + 2b + 4 = 0 (1)
+ Ta có: (MH) ⃗(a - 1; b - 3).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(1;2)
⇒ 
⇔ 2a - 2 = b - 3 hay 2a - b = -1 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ : 
⇒ Tọa độ điểm H(-1,2; -1,4).
+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:
Vậy M’(-3,4; - 5,8) ⇒ 2x - y = -1
Chọn D.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: 2x- y= 0 và điểm M(1 ; 0). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 4x + 3y?
A. 1 B. 2 C. 0 D. -1
Lời giải
+ Gọi H(a ; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên 2a- b= 0 (1)
+ Ta có: MH→(a - 1; b).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(2; -1)
⇒ 
⇔ -a + 1 = 2b hay a + 2b = 1 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ : 
⇒ Tọa độ điểm H(0,2; 0,4).
+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:
Vậy M’(-0,6; 0,8) ⇒ 4x + 3y = 0
Chọn C.
Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: 
= 1 và điểm A(2; 0). Tìm điểm đối xứng với điểm A qua d?
A. (2; -1) B. (-2; -1) C. (-1; 1) D. (-1; 3)
Lời giải
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :
= 1
⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d là chính nó.
Chọn C.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng (d): x + y - 3 = 0 và điểm M(2; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?
A. x + y - 4 = 0 B. x + y - 1 = 0 C. x - y - 1 = 0 D. x - y + 3 = 0
Lời giải
+ Đường thẳng (d) có VTPT n→( 1; 1).
+ Vecto MA→( x - 2; y - 1).
Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d
⇒ Hai vecto MA→ và n→ cùng phương
⇔ 
⇔ x - 2 = y - 1 hay x - y - 1 = 0
Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng:
∆: x- y- 1= 0
Chọn C.
Ví dụ 6. Cho tam giác OBC có O(0; 0) ; B( 0; 2) và C(-2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác OBC. Tìm điểm G’ đối xứng với G qua BC?
A. G’( - 
;-
)
B. G’(
; -
)
C. G’(
;
)
D. G’( -
;
)
Lời giải
+ ta có: OB→(0; 2); OC→( -2; 0)
⇒ OB= 2; OC= 2 và OB→.OC→ = 0.(-2) + 2.0 = 0
⇒ OB vuông góc OC và OB= OC
⇒ Tam giác OBC vuông góc tại O.
+ Do G là trọng tâm tam giác OBC nên tọa độ điểm G:
⇒ G(- 
;
)
+ Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác OBC là vuông cân tại O nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao nên OM vuông góc BC tại M.
⇒ G’ đối xứng với G qua BC nên M là trung điểm của GG’.
- M là trung điểm BC nên tọa độ điểm M: 
⇒ M(-1; 1)
- M là trung điểm GG’nên tọa độ điểm G’ là:
⇒ G’( -
;
)
⇒ Vậy tọa độ điểm G’( -
;
)
Chọn D.
Ví dụ 7: Cho đường thẳng d: x + 4y + 4 = 0 và điểm M(1; 2). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tìm M’?
A. M’( 
; - 
)
B. M’(
;
)
C. M’(-
;
)
D. M’(-
; -
)
Lời giải
+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên a + 4b + 4 = 0 (1)
+ Ta có: MH→(a - 1; b - 2).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(1;4)
⇒ 
⇔ 4a - 4 = b - 2 hay 4a – b = 2 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ : 
⇒ Tọa độ điểm H(
; 
).
+ Gọi M’ đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:
Vậy M’(-
; -
)
Chọn D.
Ví dụ 8: Cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0 và điểm M(1 ;0). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tìm tọa độ điểm M’?
A. (0; 2) B. (-2; 1) C. (2; 1) D. (-1; 2)
Lời giải
+ Gọi H(a ; b) là hình chiếu của M trên d.
+ Do H thuộc d nên a+ b- 2= 0 (1)
+ Ta có: MH→(a - 1; b).
Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(1 ; 1)
⇒ 
⇔ a - 1 = b hay a - b = 1 (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ : 
⇒ Tọa độ điểm H(1,5; 0,5).
+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:
Vậy M’(2; 1)
Chọn C.
Ví dụ 9: Cho đường thẳng d: 
= 1 và điểm A(-2; 1). Tìm điểm đối xứng với điểm A qua d?
A. (2; -1) B. (-2; -1) C. (-2; 1) D. (-1; 3)
Lời giải
Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :
= 1
⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d là chính nó.
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho đường thẳng (d): 2x + 3y - 3 = 0 và điểm M(0; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?
A. 2x + 3y - 4 = 0 B. 3x - 2y + 2 = 0 C. 3x - 2y - 1 = 0 D. 2x - 3y + 3 = 0
Lời giải
+ Đường thẳng (d) có VTPT n→(2; 3).
+ Vecto MA→( x; y - 1).
Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d
⇒ Hai vecto MA→ và n→ cùng phương
⇔ 
⇔ 3x = 2y - 2 hay 3x - 2y + 2 = 0
Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng:
∆: 3x - 2y + 2 = 0
Chọn B.
Ví dụ 11. Cho tam giác OBC có O(0; 0) ; B( 0; 6) và C(-6; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác OBC. Tìm điểm G’ đối xứng với G qua BC?
A. G’( -
;-
)
B. G’( -1; 1)
C. G’(-2; 2)
D. G’(-4; 4)
Lời giải
+ ta có: OB→(0; 6); OC→( -6; 0)
⇒ OB= 6; OC= 6 và OB→.OC→ = 0.(-6) + 6.0 = 0
⇒ OB vuông góc OC và OB= OC
⇒ Tam giác OBC vuông góc tại O.
+ Do G là trọng tâm tam giác OBC nên tọa độ điểm G:
⇒ G( -2; 2)
+ Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác OBC là vuông cân tại O nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao nên OM vuông góc BC tại M.
⇒ G’ đối xứng với G qua BC nên M là trung điểm của GG’.
- M là trung điểm BC nên tọa độ điểm M: 
⇒ M( - 3; 3)
- M là trung điểm GG’nên tọa độ điểm G’ là:
⇒ G’ ( -4; 4)
⇒ Vậy tọa độ điểm G’( - 4; 4)
Chọn D.
