Ứng dụng của hàm số bậc hai chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất - Toán lớp 10

Ứng dụng của hàm số bậc hai chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Với Ứng dụng của hàm số bậc hai chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Ứng dụng của hàm số bậc hai chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

1. Phương pháp giải.

Dựa vào đồ thị (bảng biến thiên) của hàm số y = ax² + bx + c, a ≠ 0 ta thấy nó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [α; β] tại điểm x = α hoặc x = β hoặc x = -b/(2a). Cụ thể:

TH 1: a > 0

TH 2: a < 0:

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho phương trình x² + 2(m + 3)x + m² - 3 = 0, m là tham số.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ và P = 5(x₁ + x₂ ) - 2x₁x₂ đạt giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn:

Ta có Δ' = (m + 3)² - (m² - 3) = 6m + 12

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ 6m + 12 ≥ 0 ⇔ m ≥ -2

Theo định lý Viét ta có:

P = 5(x₁ + x₂) - 2x₁x₂ = -10(m + 3) - 2(m² - 3) = -2m² - 10m - 24.

Xét hàm số f(m) = -2m² - 10m - 24 với m ∈ [-2; +∞)

Bảng biến thiên

Suy rakhi và chỉ khi m = -2

Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Hướng dẫn:

Khi đó hàm số trở thành y = t² - 3t + 1 với t ≥ 1

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y = t² - 3t + 1 là (-5)/4 khi và chỉ khi t = 3/2 hay

Ví dụ 3: Cho các số thực a, b thoả mãn ab ≠ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Hướng dẫn:

Ta có P = t² - 2 - t + 1 = t² - t - 1

Xét hàm số f(t) = t² - t - 1 với t ∈ (-∞;-2] ∪ [2; +∞)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có: