Cách xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số cực hay - Toán lớp 10

Cách xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số cực hay

Với Cách xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số cực hay Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

1. Phương pháp giải.

C1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x₁; x₂ ∈ K;x₁ < x₂, đặt T = f(x₁ )-f(x₂ )

    + Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.

    + Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.

C2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x₁; x₂ ∈ K;x₁ ≠ x₂, đặt

    + Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.

    + Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng (1; + ∞)

a) y = 3/(x-1)

b) y = x + 1/x

Hướng dẫn:

a) Với mọi x₁; x₂ ∈ (1; + ∞); x₁ ≠ x₂ ta có:

Vì x₁ > 1; x₂ > 1 nên

Do đó hàm số y = 3/(x-1) nghịch biến trên khoảng (1; + ∞).

b) Với mọi x₁; x₂ ∈ (1; + ∞); x₁ ≠ x₂ ta có:

Vì x₁ > 1; x₂ > 1

nên hàm số y = x + 1/x đồng biến trên khoảng (1; + ∞).

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x² - 4

a) Xét chiều biến thiên cuả hàm số trên (- ∞;0) và trên (0;+ ∞)

b) Lập bảng biến thiên của hàm số trên [-1;3] từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên[-1;3].

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R.

a) ∀ x₁; x₂ ∈ R; x₁ < x₂ ⇒ x₂ - x₁ > 0

Ta có T = f(x₂ ) - f(x₁ )=(x₂² - 4) - (x₁² - 4) = (x₂ - x₁ )(x₂ + x₁ )

Nếu x₁; x₂ ∈ (- ∞;0) thì T < 0. Vậy hàm số y=f(x) nghịch biến trên (- ∞;0).

Nếu x₁; x₂ ∈ (0; + ∞) thì T > 0. Vậy hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; + ∞).

b) Bảng biến thiên của hàm số y = f(x) = x² - 4 trên [-1; 3]

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1; 3] là 5, đạt được khi x = 3.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1; 3] là – 4, đạt được khi x = 0.

Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm sốtrên tập xác định của nó.

Áp dụng tìm số nghiệm của các phương trình sau:

Hướng dẫn:

ĐKXĐ:

Suy ra TXĐ: D = [1; + ∞)

Với mọi x₁; x₂ ∈ [1; + ∞), x₁ ≠ x₂, ta có:

Nên hàm sốđồng biến trên khoảng [1; + ∞).

a) Vì hàm số đã cho đồng biến trên [1; + ∞) nên

Nếu x > 1 ⇒ f(x) > f(1) hay

Suy ra phương trìnhkhông có nghiệm x > 1.

Với x = 1 dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

b)

ĐKXĐ: x ≥ 1

Đặt x² + 1 = t, t ≥ 1 ⇒ x² = t - 1

Do x ≥ 1 nên x = √(t-1). Khi đó phương trình trở thành:

⇔ f(x)=f(t)

Nếu x > t ⇒ f(x) > f(t) hay

Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x > t.

Nếu x < t ⇒ f(x)< f(t) hay

Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x < t.

Vậy f(x) = f(t) ⇔ x = t hay x² + 1 = x ⇔ x² - x + 1 = 0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Nhận xét:

Hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên toàn bộ tập xác định thì phương trình f(x)=0 có tối đa một nghiệm.

Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên D thì f(x) > f(y) ⇔ x > y (x < y) và f(x) = f(y) ⇔ x = y ∀ x,y ∈ D. Tính chất này được sử dụng nhiều trong các bài toán đại số như giải phương trình , bất phương trình , hệ phương trình và các bài toán cực trị.