Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng cực hay - Toán lớp 10
Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng cực hay
Với Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng cực hay Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.
A. Phương pháp giải
Cho hai điểm A(xA; yA) và điểm B. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB:
+ Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
⇒ (d) : đi qua trung điểm M của AB và d vuông góc AB.
⇒ phương trình đường thẳng (d): 
⇒ Phương trình đường thẳng d.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(-2; 3) và B(4; -1). Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB.
A. x - y - 1 = 0 B. 2x - 3y + 1 = 0 C. 2x + 3y - 5 = 0 D. 3x - 2y - 1 = 0
Lời giải
+ Gọi M trung điểm của AB. Tọa độ của M là :
⇒ M( 1; 1)
+ Ta có AB→ = (6; -4) = 2(3; -2)
+ Gọi d là đường thẳng trung trực của AB thì d qua M( 1; 1) và nhận n→ = (3; -2) làm VTPT.
Phương trình (d): 3(x - 1) - 2(y - 1) = 0
Hay (d): 3x - 2y - 1 = 0
Chọn D.
Ví dụ 2: Cho điểm A( 1; -3) và B( 3; 5) . Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB.
A. x - 2y + 1 = 0 B. x + 4y - 4 = 0 C. x - 4y - 6 =0 D. 2x - 8y + 7 = 0
Lời giải
Gọi M là trung điểm của AB thì tọa độ của M là :
⇒ M( 2; 1)
Gọi d là đường trung trực của AB .
( d) : 
⇒ Phương trình tổng quát của AB:
2(x - 2) + 8(y - 1) = 0 ⇔ 2x - 8y - 12 = 0
Hay ( d) : x - 4y - 6 = 0
Chọn C.
Ví dụ 3. Đường trung trực của đoạn AB với A(1 ; -4) và B( 5 ; 2) có phương trình là:
A. 2x + 3y - 3 = 0 B. 3x + 2y + 1 = 0 C. 3x - y + 4 = 0 D. x + y - 1 = 0
Lời giải
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : 
⇒ I( 3 ;-1)
Đường thẳng d : 
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
4( x - 3) + 6( y + 1) = 0 hay 4x + 6y – 6 = 0 ⇔ 2x + 3y – 3 = 0
Chọn A.
Ví dụ 4. Đường trung trực của đoạn AB với A( 4 ;-1) và B( 1 ; -4) có phương trình là:
A. x + y - 1 = 0 B. x + y = 0 C. x - y = 1 D. x - y = 0
Lời giải
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : 
⇒ I( 
; -
)
Đường thẳng d : 
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
- 3(x -
) - 3( y +
) = 0 hay x + y = 0
Chọn B.
Ví dụ 5. Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(1 ; - 4) và B(1; 2) có phương trình là:
A. y + 1 = 0 B. x + 1 = 0 C. y - 1 = 0 D. x - 4y = 0
Lời giải
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : 
⇒ I(1 ; -1)
Đường thẳng d : 
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
0(x - 1) + 6(y + 1) = 0 hay y + 1 = 0
Chọn A.
Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC cân tại A. Cho M(1 ; 2) là trung điểm của BC và B(-2 ; 2). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC ?
A. x + y - 3 = 0 B. x - y + 1 = 0 C. 2x - y = 0 D. x - 1 = 0
Lời giải
Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
⇒ Hai đường thẳng BC và AM vuông góc với nhau tại M.
+ Đường thẳng AM : 
⇒ Phương trình AM : 3(x - 1) + 0(y - 2) = 0 hay x - 1 = 0
Chọn D.
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC có phương trình BC : x + 2y - 3 = 0 ; đường trung tuyến
BM : 4x - y - 3 = 0 và đường phân giác CK : 2x - y - 6 = 0. Viết phương trình đường trung trực của BC ?
A. 2x - y - 
= 0
B. 2x + y + 
= 0
C. 2x - y -
= 0
D. Đáp án khác
Lời giải
+ Hai đường thẳng BC và BM giao nhau tại B nên tọa độ điểm B là nghiệm hệ :
⇒ B(1 ; 1)
+ Hai đường thẳng BC và CK cắt nhau tại C nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ :
⇒ C(3 ;0)
+ Gọi M là trung điểm BC thì tọa độ điểm M :
⇒ M(2 ; 
)
+ Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng BC ta có :
(d) : 
⇒ Phương trình d : 2(x - 2) - 1(y -
) = 0 hay 2x - y -
= 0
Chọn C.
Ví dụ 8 : Cho điểm A(1 ; 0) ; điểm B(m - 1 ; 2m + 1). Phương trình đường trung trực của AB là (d) x - y + 10 = 0. Tìm m ?
A. m = 
B. m = -
C. m = 2
D. m = 
Lời giải
+ Đường thẳng d có VTPT là n→( 1 ; -1) .
+ vecto AB→( m - 2 ; 2m + 1).
Do (d) là đường trung trực của AB nên n→ và AB→ cùng phương
⇔ 
⇔ - m + 2 = 2m + 1
⇔ - 3m = - 1 nên m =
Chọn A.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(1 ; -4) và B( 3 ; -4) có phương trình là :
A. y + 4 = 0 B. x + y - 2 = 0 C. x - 2 = 0 D. y - 4 = 0
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : 
⇒ I( 2 ; -4)
Đường thẳng d : 
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
2(x - 2) + 0( y + 4) = 0 hay x - 2 = 0
Câu 2: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A(2 ; -3) và B(6 ; 7) có phương trình là:
A.2x + 5y - 18 = 0 B. 2x - 5y + 1 =0 C. 2x - 5y -1 = 0 D. 2x + 5y = 0
Lời giải:
Đáp án: A
Trả lời:
Gọi I là trung điểm của AB và d là trung trực đoạn AB.
Tọa độ điểm I là : 
⇒ I(4 ; 2)
Đường thẳng d : 
⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d:
2(x - 4) + 5(y - 2) = 0 hay 2x + 5y - 18 = 0
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Cho M(2 ; - 4) là trung điểm của BC và B(1 ;3). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC ?
A. x + 7y - 3 = 0 B. x - 7y + 1 = 0 C. x + 7y + 26 = 0 D. x - 7y - 30 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
Trả lời:
Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
⇒ Hai đường thẳng BC và AM vuông góc với nhau tại M.
+ Đường thẳng AM : 
⇒ Phương trình AM : 1(x - 2)- 7(y + 4) = 0 hay x - 7y - 30 = 0
Câu 4: Cho tam giác ABC có phương trình BC : 2x - y + 3 = 0 ; đường trung tuyến
BM : 4x + y + 9 = 0 và đường phân giác CK : 3x + y - 6 = 0. Viết phương trình đường trung trực của BC ?
A. 2x - y - 
= 0
B. 2x + y - 2,5 = 0
C. x + 2y - 2,5 =0
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
+ Hai đường thẳng BC và BM giao nhau tại B nên tọa độ điểm B là nghiệm hệ :
⇒ B(-2 ; -1)
+ Hai đường thẳng BC và CK cắt nhau tại C nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ :
⇒ C(0,6 ; 4,2)
+ Gọi M là trung điểm BC thì tọa độ điểm M :
⇒ M(-0,7 ; 1,6)
+ Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng BC ta có :
(d) : 
⇒ Phương trình d : 1(x + 0,7) + 2(y - 1,6) = 0 hay x + 2y - 2,5 = 0
Câu 5: Cho tam giác ABC có 
= 300; 
= 1200. Gọi M(1; 2) là trung điểm BC và C(-2; 4). Viết phương trình đường trung trực của BC?
A. 2x + y - 3 = 0 B. 3x - 2y + 5 = 0 C. 2x + 3y - 5 =0 D. 3x - 2y + 1 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
Trả lời:
Xét tam giác ABC có: 
= 1800 -
-
= 300
⇒
=
nên tam giác ABC cân tại A.
Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
⇒ Hai đường thẳng BC và AM vuông góc với nhau tại M.
+ Đường thẳng AM : 
⇒ Phương trình AM : 3(x - 1) - 2(y - 2) = 0 hay 3x - 2y + 1 = 0
Câu 6: Cho tam giác ABC có điểm B(-2; 4); phương trình đường thẳng
AC: x + 2y - 6 = 0 và đường phân giác trong CN: 2x - 3y + 2 = 0. Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC?
A. 2x - y + 3 =0 B. 2x + y - 4 = 0 C. x - 2y + 3 = 0 D. x - 2y = 0
Lời giải:
Đáp án: A
Trả lời:
+ Hai đường thẳng AC và CN cắt nhau tại C nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ:
⇔ x = 2; y = 2 ⇒ C( 2; 2).
+ Gọi d là đường trung trực của BC.
+ Trung điểm của BC là M( 0; 3).
+ Đường thẳng d: 
⇒ Phương trình đường thẳng d: 2(x - 0) – 1(y - 3) = 0 hay 2x - y + 3 = 0
Câu 7: Cho điểm A(- 2 ; 5) ; điểm B(m - 2 ; 1 - m). Phương trình đường trung trực của AB là (d) 2x - 3y + 10 = 0. Tìm m ?
A. m =
B. m =
C. m = 8
D. m =
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
+ Đường thẳng d có VTPT là n→(2 ; -3) .
+ vecto AB→( m ; - m - 4).
Do (d) là đường trung trực của AB nên n→ và AB→ cùng phương
⇔ 
⇔ - 3m = - 2m - 8
⇔ - m = - 8 nên m = 8
Câu 8: Cho điểm A(m-1; 2) và điểm B(-1; m). Phương trình đường trung trực của AB là ( d): 2x - 5y + 9 = 0. Tìm m?
A. m =
B. m =
C. m = 8
D. m = -
Lời giải:
Đáp án: D
Trả lời:
+ Đường thẳng d có VTPT là n→(2 ; -5) .
+ vecto AB→( -m ; m - 2).
Do (d) là đường trung trực của AB nên n→ và AB→ cùng phương
⇔ 
⇔ 5m = 2m - 4
⇔ 3m = - 4 nên m = -
