Xác định dạng và tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Xác định dạng và tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định dạng và tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Xác định dạng và tìm nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

– Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có một trong các dạng sau:

+) ax + by + c < 0

+) ax + by + c > 0

+) ax + by + c ≤ 0

+) ax + by + c ≥ 0

Trong đó: a, b, c là những số cho trước; a, b không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn.

– Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Xét bất phương trình ax + by + c < 0. Mỗi cặp số (x₀; y₀) thỏa mãn ax₀ + by₀ + c < 0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình đã cho. Nghiệm của các bất phương trình ax + by + c ≤ 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≥ 0 được định nghĩa tương tự.

Cặp số (x₀; y₀) là nghiệm chung của tất cả các bất phương trình trong hệ là một nghiệm của hệ. 

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các hệ bất phương trình sau, đâu là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

a) $\left\{\begin{array}{l}3x+y-1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0\end{array}\right.$;

b) $\left\{\begin{array}{l}5x+y-9=0\\ 2x-3y+2=0\end{array}\right.$;

c) $\left\{\begin{array}{l}y-9<0\\ 2x+2>0\end{array}\right.$;

d) $\left\{\begin{array}{l}5x+y\ge 0\\ 2x\ge 0\\ y-7<0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

a)

Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}3x+y-1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0\end{array}\right.$ có:

3x + y – 1 ≤ 0 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2x – y + 2 ≥ 0 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Do đó, $\left\{\begin{array}{l}3x+y-1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0\end{array}\right.$ là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b)

Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}5x+y-9=0\\ 2x-3y+2=0\end{array}\right.$ có:

5x + y – 9 = 0 không là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2x – 3y + 2 = 0 không là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Do đó $\left\{\begin{array}{l}5x+y-9=0\\ 2x-3y+2=0\end{array}\right.$ không là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

c)

Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}y-9<0\\ 2x+2>0\end{array}\right.$ có:

y – 9 < 0 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2x + 2 > 0 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Do đó, $\left\{\begin{array}{l}y-9<0\\ 2x+2>0\end{array}\right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d)

Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}5x+y\ge 0\\ 2x\ge 0\\ y-7<0\end{array}\right.$ có:

5x + y ≥ 0 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2x ≥ 0 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

y – 7 < 0 là là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Do đó, $\left\{\begin{array}{l}5x+y\ge 0\\ 2x\ge 0\\ y-7<0\end{array}\right.$ là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 2. Cặp số (x; y) = (4; 5) có phải là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}5x+y\ge 0\\ 2x\ge 0\\ y-7<0\end{array}\right.$ không ?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Xét từng bất phương trình của hệ $\left\{\begin{array}{l}5x+y\ge 0\\ 2x\ge 0\\ y-7<0\end{array}\right.$ với cặp số (x; y) = (4; 5) ta có:

5.4 + 5 = 25 ≥ 0

2.4 = 8 ≥ 0

5 – 7 = –2 < 0

Suy ra cặp số (x; y) = (4; 5) đều thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ đã cho.

Do đó, cặp số (x; y) = (4; 5) là một nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}5x+y\ge 0\\ 2x\ge 0\\ y-7<0\end{array}\right.$.

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Trong các hệ bất phương trình sau, đâu là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

A. $\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y>0\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}2x+y-1<0\\ x-2y>0\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}3x+2y=2\\ 3x-y=0\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x-y=1\\ x+y>0\\ 4x+5y\le 0\end{array}\right.$.

Bài 2. Trong các hệ bất phương trình sau, đâu là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

A. $\left\{\begin{array}{l}x+y-5\ge 0\\ x-y=0\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}2x+y-1<0\\ x-2y>0\\ x+5y=4\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}3x+2y=2\\ 3x-y=0\\ x-y>0\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}7x-y<1\\ x+6y>0\\ 4x+5y\le 0\end{array}\right.$.

Bài 3. Hệ nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các hệ sau?

A. $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y\ge 0\\ x-y<0\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}2x^3-y-1>0\\ x-2>0\\ x+5y=4\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}3x+2y>2-x\\ 3x-y<4y\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}7x-y<1\\ x+6y=4y\end{array}\right.$.

Bài 4. Trong các hệ bất phương trình sau, đâu không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

A. $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge 10\\ x-3y<6\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}2x-y-1>0\\ x-2>0\\ x+5y<4\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}3x+2y-2<0\\ 3x-y<4-y\\ 5+x=3\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}7x-y<1\\ x+2y<3y-x\end{array}\right.$.

Bài 5. Trong các hệ bất phương trình sau, đâu không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

A. $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge 10-x^2\\ x-y\ge 12\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+5y<4\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}3x+2y<0\\ 5+x<3\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}7x-y<14\\ x-3y<y-4x\end{array}\right.$.

Bài 6. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+5y<4\end{array}\right.$?

A. (3; 5);

B. (1; –1);

C. (2; 5);

D. (3; 4).

Bài 7. Một nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}7x-y<1\\ x+2y<3y-x\end{array}\right.$ là cặp số:

A. (4; 6);

B. (2; 1);

C. (0; 9);

D. (0; 0).

Bài 8. Cặp số nào sau đây là một nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}2x-y-1>0\\ x+2>0\\ x+5y<4\end{array}\right.$?

A. (1; 1);

B. (2; 2);

C. (1; –5);

D. (4; 5).

Bài 9. Cặp số (1; 0) là một nghiệm của hệ:

A. $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+5y<4\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}3x+2y-2<0\\ 3x-y<4-y\\ 5+x<3\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge 10\\ x-3y<6\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}3x+2y>2-x\\ 3x-y<4y\end{array}\right.$.

Bài 10. Cặp số (2; 3) là một nghiệm của hệ nào sau đây ?

A. $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge 10-x\\ x-y\ge 12\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}2x-1>0\\ x+5y<4\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}3x+2y<0\\ 5+x<3\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}7x-y<14\\ x-3y\le y-4x\end{array}\right.$.