Bài toán thực tế về hàm số lượng giác lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Chuyên đề phương pháp giải Bài toán thực tế về hàm số lượng giác lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài toán thực tế về hàm số lượng giác.

Bài toán thực tế về hàm số lượng giác lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

* Để giải các Bài toán thực tế về hàm số lượng giác, ta thực hiện như sau:

Bước 1: Đọc, hiểu nội dung bài toán thực tiễn đã cho.

Bước 2: Phân tích bài toán để nhận diện bài toán thuộc nội dung kiến thức nào liên quan đến hàm số lượng giác.

Bước 3: Dùng kiến thức đã học, giải bài toán.

Bước 4: Kết luận.

* Một số kiến thức cần nhớ:

* Hàm số y = sinx

– Tập xác định: D = ℝ.

– Tập giá trị: [–1; 1].

– Hàm số y = sinx là hàm số lẻ.

– Tuần hoàn với chu kì T = 2π.

* Hàm số y = cosx

– Tập xác định: D = ℝ.

– Tập giá trị: [–1; 1].

– Hàm số y = cosx là hàm số chẵn.

– Tuần hoàn với chu kì T = 2π.

* Hàm số y = tanx

– Tập xác định: .

– Tập giá trị: ℝ.

– Hàm số y = tanxlà hàm số lẻ.

– Tuần hoàn với chu kì T = π.

* Hàm số y = cotx

– Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left(k\pi |k\in \mathbb{Z}\right)$.

– Tập giá trị: ℝ.

– Hàm số y = cotxlà hàm số lẻ.

– Tuần hoàn với chu kì T = π.

Chú ý: ∀x ∈ ℝ, n ∈ ℕ^* ta luôn có:

+) –1 ≤ sinx ≤ 1,    –1 ≤ sin²ⁿ⁺¹x ≤ 1.

+) –1 ≤ cosx ≤ 1,   –1 ≤ cos²ⁿ⁺¹x ≤ 1.

+) 0 ≤ |sinx| ≤ 1,    0 ≤ sin²ⁿx ≤ 1.

+) 0 ≤ |cosx| ≤ 1,    0 ≤ cos²ⁿx ≤ 1.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của mực nước được mô hình hóa bởi hàm số $h\left(t\right)=90\cos \left(\frac{\pi }{10}t\right)$, trong đó h(t) là độ cao tính bằng centimet trên mực nước biển trung bình tại thời điểm t giây.

a) Tìm chu kì của sóng.

b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

Hướng dẫn giải:

a) Hàm số $h\left(t\right)=90\cos \left(\frac{\pi }{10}t\right)$  là hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{10}}=20$ .

Vậy chu kì của sóng là T = 20 giây.

b) Hàm số $h\left(t\right)=90\cos \left(\frac{\pi }{10}t\right)$ có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là 90 và – 90.

Vây chiều cao của sóng là 180 cm.

Ví dụ 2. Một dao động điều hòa có phương trình li độ dao động là: x = 3cosꞷt, trong đó t là thời gian tính bằng giây, x là li độ dao động tính bằng centimet, ꞷ là hằng số (ꞷ > 0). Khi đó, chu kì T của dao động là $T=\frac{2\pi }{\omega }$.

Xác định giá trị của li độ khi t = 0, t = $\frac{T}{4}$, t = $\frac{T}{2}$, t = $\frac{3T}{4}$, t = T và vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa trên đoạn [0; 2T].

Hướng dẫn giải:

– Từ $T=\frac{2\pi }{\omega }$ ta có $\omega =\frac{2\pi }{T}$. Khi đó ta có phương trình li độ là $x=3\cos \left(\frac{2\pi }{T}t\right)$.

+ Tại t = 0 thì x = 3cos0 = 3 (cm);

+ Tại t = $\frac{T}{4}$ thì $x=3\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot \frac{T}{4}\right)=3\cos \frac{\pi }{2}=0$ (cm);

+ Tại t = $\frac{T}{2}$ thì $x=3\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot \frac{T}{4}\right)=3\cos \frac{\pi }{2}=0$ (cm);

+ Tại t = $\frac{3T}{4}$ thì $x=3\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot \frac{3T}{4}\right)=3\cos \frac{3\pi }{2}=0$ (cm);

+ Tại t = T thì $x=3\cos \left(\frac{2\pi }{T}\cdot T\right)=3\cos 2\pi =3$ (cm).

– Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa trên đoạn [0; 2T]:

Ta có bảng sau:

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số $x=3\cos \left(\frac{2\pi }{T}t\right)$  trên đoạn [0; T] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số $x=3\cos \left(\frac{2\pi }{T}t\right)$  trên đoạn [T; 2T].

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa $x=3\cos \left(\frac{2\pi }{T}t\right)$  trên đoạn [0; 2T] như sau:

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức $h\left(t\right)=3\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)+12$ . Mực nước của con kênh cao nhất khi

A. t = 13 (giờ);

B. t = 14 (giờ);

C. t = 15 (giờ);

D. t = 16 (giờ).

Bài 2. Một cây cầu có dạng cung OA là một phần của đồ thị hàm số $y=\mathrm{4,8}\sin \frac{x}{9}$ và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như hình dưới.

Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng OA. Chiều rộng đó (làm tròn đến kết quả hàng phần mười) là

A. 28,3 m;

B. 14,1 m;

C. 18,3 m;

D. 24,1 m.

Bài 3. Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong hình vẽ. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoành và kinh tuyến 0° làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ φ° (–90 < φ < 90) được cho bởi hàm số $y=20\tan \left(\frac{\pi }{180}\phi \right)$ (cm). Sử dụng đồ thị hàm số tan, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo không quá 20 cm trên bản đồ.

A. Vĩ độ từ –120° đến 120°;

B. Vĩ độ từ –75° đến 75°;

C. Vĩ độ từ –45° đến 45°;

D. Vĩ độ từ –90° đến 90°.

Bài 4. Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác α = (Ox, OM) theo hàm số v_x = 0,3sinα (m/s) (hình vẽ). Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết trong vòng quay đầu tiên (0 ≤ α ≤ 2π), góc α ở trong khoảng nào sau đây thì v_x giảm?

A. $\left(\frac{\pi }{2};2\pi \right)$ ;

B. $\left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right)$ ;

C. $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ ;

D. $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ .

Bài 5. Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3 m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (hình vẽ). Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc α = (OA, OG).

A. h = 3sinα;

B. h = 3 + 3sinα;

C. h = 1 + 3sinα;

D. h = 2 + 3sinα.

Bài 6. Trong hình vẽ, một chiếc máy bay A bay ở độ cao 500 m theo một đường thẳng đi ngang qua phía trên trạm quan sát T ở mặt đất. Hình chiếu vuông góc của A lên mặt đất là H, α là góc lượng giác (Tx, TA) (0 < α < π). Biểu diễn tọa độ x_H của điểm H lên trục Tx theo α.

A. x_H = 500cotα;

B. x_H = 500cosα;

C. x_H = 500sinα;

D. x_H = 500tanα.

Bài 7. Huyết áp là áp lực máu cần thiết tác động lên thành động mạch nhằm đưa máu đi nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Nhờ lực co bóp của tim và sức cản của động mạch mà huyết áp được tạo ra. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu được gọi tương ứng là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được tính bằng huyết áp tâm thu/huyết áp tâm trương. Tính chỉ số huyết áp. Giả sử huyết áp của người đó thay đổi theo thời gian được cho bởi công thức:

p(t) = 115 + 25sin160πt,

trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimet thủy ngân) và thời gian t tính theo đơn vị phút.

A. 100/90;

B. 150/60;

C. 120/80;

D. 140/90.

Bài 8. Hằng ngày, Mặt Trời chiếu sáng, bóng của một toà chung cư cao 40 m in trên mặt đất, độ dài bóng của toà nhà này được tính bằng công thức , ở đó S được tính bằng mét, còn t là số giờ tính từ 6 giờ sáng. Tại những thời điểm nào thì độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao tòa nhà?

A. 9 giờ sáng và 15 giờ chiều;

B. 3 giờ sáng và 9 giờ sáng;

C. 12 giờ trưa và 15 giờ chiều;

D. 9 giờ sáng và 12 giờ trưa.

Bài 9. Một thanh xà gồ hình chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 30 cm. Hãy tìm sự phụ thuộc giữa diện tích mặt cắt S của thanh xà gồ với góc θ, trong đó góc θ được chỉ ra ở hình dưới.

A. S(θ) = 450sin2θ (cm²);

B. S(θ) = 900sin2θ (cm²);

C. S(θ) = 225sin2θ (cm²);

D. S(θ) = 1800sin2θ (cm²).

Bài 10. Nhiệt độ ngoài trời ở một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức $h\left(t\right)=29+3\sin \frac{\pi }{12}\left(t-9\right)$, với h được tính bằng độ C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là

A. 27℃;

B. 32℃;

C. 26℃;

D. 30℃.