Bài toán thực tế về phương trình lượng giác lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Chuyên đề phương pháp giải Bài toán thực tế về phương trình lượng giác lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài toán thực tế về phương trình lượng giác.

Bài toán thực tế về phương trình lượng giác lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Dựa vào dữ kiện đề bài để đưa ra phương trình lượng giác tương ứng, sau đó giải phương trình lượng giác hoặc sử dụng các phép biến đổi tương đương; các công thức lượng giác: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng… để giải phương trình lượng giác, từ đó tìm ra kết quả theo yêu cầu của đề bài.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:

với t ∈ ℤ và 0 ≤ t ≤ 365

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

Hướng dẫn giải

Giả sử thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ t₀.

Ta có:

Mà d(t₀) = 12 nên ta có:

⇔$\frac{\pi }{182}\left(t_0-80\right)=k\pi$, k ∈ ℤ

⇔ t₀ – 80 = 182k , k ∈ ℤ

⇔ t₀ = 182k + 80, k ∈ ℤ

Mà 0 ≤ t₀ ≤ 365

⇔ –80 ≤ 182k ≤ 285

⇔ –0,44 ≤ k ≤ 1,57

Mà k ∈ ℤ nên k = 0 hoặc k = 1

Nếu k = 0 thì t₀ = 80

Nếu k = 1 thì t₀ = 262

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262.

Ví dụ 2. Một quả đạn pháp được bắn khỏi nòng pháp với vận tốc ban đầu v₀ = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y=\frac{-g}{2{v_0}^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$, ở đó g = 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường. Tính theo góc bắn α tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn).

Hướng dẫn giải:

Vì v₀ = 500 m/s và g = 9,8 m/s² nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là:

$y=\frac{-\mathrm{9,8}}{{2.500}^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha =\frac{-49}{2500000{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$

Quả đạn chạm đất khi y = 0, khi đó

Loại x = 0 (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là $x=\frac{1250000\sin 2\alpha }{49}$ (m).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:

Thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

A. 171;        

B. 170;        

C. 169;                

D. 168.

Bài 2. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40° Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:

Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?

A. 351;          

B. 352;                

C. 353;                

D. 354.

Bài 3. Một quả đạn pháp được bắn khỏi nòng pháp với vận tốc ban đầu v₀ = 500 m/s hợp với phương ngang một góc α. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y=\frac{-g}{2{v_0}^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$, ở đó g = 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường. Tìm góc bắn α để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22 000 m.

A. $\alpha \approx 29°47\text{'}37\text{'}\text{'}$;

B. $\alpha \approx 28°47\text{'}36\text{'}\text{'}$;

C. $\alpha \approx 29°47\text{'}30\text{'}\text{'}$;

D. $\alpha \approx 29°40\text{'}36\text{'}\text{'}$.

Bài 4. Trong hình vẽ, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật A gắn ở đầu lò xo dao động quanh O. Tọa độ s (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức $s=10\sin \left(10t+\frac{\pi }{2}\right)$. Vào thời điểm nào dưới dây thì s $=-5\sqrt{3}$cm?

A. $\frac{-\pi }{3}$;

B. $\frac{-\pi }{12}$;

C. $\frac{-\pi }{6}$;

D. $\frac{-\pi }{4}$.

Bài 5. Theo Định luật khúc xạ ánh sáng, khi một tia sáng được chiếu tới mặt phân cách giữa hai môi trường trong suốt không đồng chất thì tỉ số $\frac{\sin i}{\sin r}$, với i là góc tới và r là góc khúc xạ, là một hằng số phụ thuộc vào chiết suất của hai môi trường. Biết rằng khi góc tới là 45° thì góc khúc xạ bằng 30°. Khi góc tới là 60° thì góc khúc xạ là bao nhiêu?

A. 30°;

B. 45°;

C. 38°;

D. 60°.

Bài 6. Vận tốc của con lắc đơn v (cm/s) được cho bởi công thức:

$v\left(t\right)=-4\cos \left(\frac{2}{3}t+\frac{\pi }{4}\right)$.

Tại thời điểm nào dưới đây thì vận tốc của con lắc đơn bằng 2 cm/s?

A. $-\frac{5\pi }{8}$;

B. $\frac{5\pi }{3}$;

C. $\frac{\pi }{8}$;

D. $\frac{5\pi }{8}$.

Bài 7.Vận tốc của con lắc đơn v (cm/s) được cho bởi công thức:

$v\left(t\right)=2\sin \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)$.

Tại thời điểm nào dưới đây thì vận tốc của con lắc đơn bằng 2 cm/s?

A. $\frac{\pi }{4}$;

B. $\frac{\pi }{3}$;

C. $\frac{\pi }{8}$;

D. $\frac{\pi }{6}$.

Bài 8. Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 ≤ t ≤ 24) cho bởi công thức $h=3\cos \left(\frac{\pi }{6}t\right)+12$. Một giá trị của t để độ sâu của mực nước là 15 m là

A. 0 giờ;

B. 1 giờ;

C. 2 giờ;

D. 3 giờ.

Bài 9. Chiều cao h (m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức $h\left(t\right)=30+20\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)$. Cabin đạt độ cao tối đa là bao nhiêu?

A. 30 m;

B. 40 m;

C. 50 m;

D. 60 m.

Bài 10. Chiều cao h (m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức $h\left(t\right)=30+20\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)$. Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên?

A. 48,5 giây;

B. 12,5 giây;

C. 13,48 giây;

D. 45,6 giây.