Các bài toán về phương trình bậc hai của hàm số lượng giác và cách giải

---

Các bài toán về phương trình bậc hai của hàm số lượng giác và cách giải

Với Các bài toán về phương trình bậc hai của hàm số lượng giác và cách giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập về phương trình bậc hai của hàm số lượng giác từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

1. Lý thuyết

Một số dạng phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác

a. sin²x + b.sinx + c = 0 (a ≠ 0)

a. cos²x + b.cosx + c = 0 (a ≠ 0)

a. tan²x + b.tanx + c = 0 (a ≠ 0)

a. cot²x + b.cotx + c = 0 (a ≠ 0)

2. Phương pháp giải:

Phương trình dạng	Điều kiện xác định	Cách làm	Điều kiện ẩn phụ (ẩn t)
f(sinx)		Đặt t = sinx	-1 ≤ t ≤ 1
f(cosx)		Đặt t = cosx	-1 ≤ t ≤ 1
f(tanx)		Đặt t = tanx
f(cotx)	x ≠ kπ; k ∈ Z	Đặt t = cotx

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

a) 2sin²x – 5sinx + 2 = 0

b) 5cos²x – 6cosx + 1 = 0

c) tan²x + 2tanx – 3 = 0

Lời giải

a) Đặt t = sinx với -1 ≤ t ≤ 1

Ta được phương trình: 2t² – 5t + 2 = 0

⇔ 2t² - 4t - t + 2 = 0 ⇔ (2t - 1)(t - 2) = 0

Khi đó

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

b) Đặt t = cosx với -1 ≤ t ≤ 1

Ta được phương trình: 5t² – 6t + 1 = 0

⇔ 5t² – 5t - t + 1 = 0 ⇔ (5t - 1)(t - 1) = 0

Khi đó

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

c) Điều kiện xác định:

Đặt t = tanx. Ta được phương trình: t² + 2t – 3 = 0

⇔ t² + 3t - t – 3 = 0

⇔ (t + 3)(t - 1) = 0

Khi đó (Thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

Ví dụ 2: Giải các phương trình:

a) sin²x + 2cosx + 2 = 0

b) cos2x – 4sinx = 3

c)

Lời giải

a) sin²x + 2cosx + 2 = 0

⇔ 1 - cos²x + 2cosx + 2 = 0

⇔ - cos²x + 2cosx + 3 = 0

Đặt t = cosx với -1 ≤ t ≤ 1

Ta được phương trình: - t² + 2t + 3 = 0

⇔ - (t + 1)(t - 3) = 0

Khi đó cosx = -1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x = π + k2π (k ∈ Z)

b) cos2x – 4sinx = 3

⇔ 1 - sin²x - 4sinx - 3 = 0

⇔ - 2sin²x - 4sinx - 2 = 0

Đặt t = sinx với -1 ≤ t ≤ 1

Ta được phương trình: -2t² – 4t – 2 = 0

⇔ -2(t + 1)² = 0

⇔ t = -1 (Thỏa mãn)

Khi đó: sinx = -1 ⇔

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

c)

⇔ 2cos²x - cosx + 1 = 0

Đặt t = cosx với -1 ≤ t ≤ 1

Ta được phương trình: 2t² – t + 1 = 0 (*)

Ta có: Δ = (-1)² - 4.2.1 = -7 < 0. Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 3: Giải các phương trình:

a) tanx + 5cotx = 6

b)

Lời giải

a) Điều kiện xác định:

Ta có: tanx + 5cotx = 6

Đặt t = tanx. Ta được phương trình: (Điều kiện: t ≠ 0 )

⇔ t² + 5 = 6t

⇔ t² - 6t + 5 = 0

Khi đó

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

b) Điều kiện xác định: sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ; k ∈ Z

Vì nên

Thay vào phương trình ta có:

Ta được phương trình: 3t² + t – 2 = 0

Khi đó

Vậy họ nghiệm của phương trình là:

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Nghiệm của phương trình lượng giác: 2cos²x + 3sinx – 3 = 0 thỏa mãn điều kiện là:

Câu 2. Các họ nghiệm của phương trình cos2x – sinx = 0 là:

Câu 3. Nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin²x + 5sinx – 3 = 0 là:

Câu 4. Nghiệm của phương trình 2cos2x + 2cosx - √2 = 0 là

Câu 5. Trong [0,2π) , phương trình sinx = 1 – cos²x có tập nghiệm là:

Câu 6. Có bao nhiêu nghiệm của phương trình cos4x + 3sin2x + 1 = 0 thuộc khoảng (0,2π) ?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 7. Phương trình có các nghiệm là:

A. x = kπ, k∈ Z B. x = k3π, k∈ Z C. x = k2π, k∈ Z D. x = k6π, k∈ Z

Câu 8. Họ nghiệm của phương trình 3cos4x + 2cos2x – 5 = 0 là:

A. k2π, k∈ Z B. + k2π, k∈ Z C. kπ, k∈ Z D. - + k2π, k∈ Z

Câu 9. Phương trình tan²x + 5tanx – 6 = 0 có các nghiệm là:

Câu 10. Một họ nghiệm của phương trình 3tan2x + 2cot2x - 5 = 0 là

Câu 11. Số nghiệm của phương trình 2tanx – 2cotx – 3 = 0 trong khoảng là :

A. 2 B. 1 C. 4 D. 3

Câu 12. Phương trình cos2x + sin²x + 2cosx + 1 = 0 có nghiệm là:

Câu 13. Các nghiệm của phương trình √3tanx + cotx - √3 - 1 = 0 là:

Câu 14. Số nghiệm của phương trình là:

A. 2 B. 0 C. 1 D. 3

Câu 15. Họ nghiệm của phương trình cos²x + sinx + 1 = 0 là:

Bảng đáp án

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
C	C	D	A	C	D	D	C	A	D	D	D	D	B	A