Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản


Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Với Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải phương trình lượng giác cơ bản từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

1. Lý thuyết

a) Phương trình sin x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: |m| ≤ 1 . Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng sin của những góc đặc biệt thì:

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

- Các trường hợp đặc biệt:

sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)

sin x = 1 ⇔ x = Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản + k2π (k ∈ Z)

sin x = -1 ⇔ x = -Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản + k2π (k ∈ Z)

b) Phương trình cos x = m

Trường hợp 1: |m| > 1. Phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2: |m| ≤ 1 . Phương trình có nghiệm.

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cos của những góc đặc biệt thì:

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

- Các trường hợp đặc biệt:

cos x = 0 ⇔ x = Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản + k2π (k ∈ Z)

cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z)

cos x = -1 ⇔ x = π + kπ (k ∈ Z)

c) Phương trình: tan x = m. Điều kiện: x ≠ Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản + k2π (k ∈ Z)

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng tan của những góc đặc biệt thì:

tan x = m ⇔ x = αrctan m + kπ (k ∈ Z)

d) Phương trình: cot x = m. Điều kiện: x ≠ kπ(k ∈ Z)

- Nếu m biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

cot x = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)

- Nếu m không biểu diễn được dưới dạng cot của những góc đặc biệt thì:

cot x = m ⇔ x = αrccot m + kπ (k ∈ Z)

e) Chú ý:

Nếu gặp bài toán yêu cầu tìm số đo độ của góc lượng giác sao cho sin (cos, tan, cot) của chúng bằng m.

Ví dụ: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản ta có thể áp dụng các công thức nghiệm nêu trên, lưu ý sử dụng kí hiệu số đo độ trong công thức nghiệm.

Đối với ví dụ trên ta viết: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

chứ không viết Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

2. Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác.

Mở rộng công thức nghiệm, với u(x) và v(x) là hai biểu thức của x.

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

b) 3cos(x+1) = 1

c) tan(3x + 150) = √3

d) Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Lời giải

a) Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Vậy họ nghiệm của phương trình là: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

b) 3cos(x+1) = 1 Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Vậy họ nghiệm của phương trình là: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

c) Điều kiện xác định: cos(3x + 150) ≠ 0

⇔ 3x + 150 ≠ 900 + k180

⇔ 3x ≠ 750 + k180

⇔ x ≠ 250 + k600 (k ∈ Z)

Ta có: tan(3x + 150) = √3

⇔ tan(3x + 150) = tan600

⇔ 3x + 150 = 600 + k180

⇔ x = 150 + k600 (k ∈ Z) (Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: x = 150 + k600 (k ∈ Z)

d) Điều kiện xác định: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản(Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

b) cos5x – sinx = 0

c) Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

d) Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Lời giải

a) Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Vậy họ nghiệm của phương trình là: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

b) cos5x – sinx = 0 Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Vậy họ nghiệm của phương trình là: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

c) Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Vậy họ nghiệm của phương trình là Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

d) Điều kiện xác định: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Vậy họ nghiệm của phương trình là: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0

b) (cotx + 1)sin3x = 0

c) Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

d) tanx.tan2x = 1

Lời giải

a) (1 + 2cosx)(3 – cosx) = 0 Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Vậy họ nghiệm của phương trình là Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

b) Điều kiện xác định: sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ(k ∈ Z)

Ta có: (cotx + 1)sin3x = 0

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bảnPhương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

c) Điều kiện xác định: cos3x - 1 ≠ 0 ⇔ cos3x ≠ 1 ⇔ 3x ≠ k2π ⇔ Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản .

Ta có: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

d) Điều kiện xác định: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

tanx.tan2x = 1 (*)

Trường hợp 1: tanx = 0. Thay vào (*) (vô lí).

Trường hợp 2: tanx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ (k ∈ Z)

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Kết hợp với điều kiện xác định ta được họ nghiệm của phương trình là Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Họ nghiệm của phương trình Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Câu 2. Số nghiệm của phương trình: Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản với 0 ≤ x ≤ 2π là :

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3

Câu 3. Các nghiệm phương trình Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản là:

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Câu 4. Các nghiệm của phương trình Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản là:

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Câu 5. Nghiệm của phương trình 2sinx.cosx = 1 là:

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Câu 6. Phương trình Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản có họ nghiệm là:

A. x = k2π,k ∈ Z B. x = kπ,k ∈ Z C. x = π + k2π,k ∈ Z D. x = Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản + kπ,k ∈ Z

Câu 7. Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là:

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Câu 8. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin 4x + cos5x = 0 theo thứ tự là:

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Câu 9. Giải phương trình Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Câu 10. Nghiệm của phương trình sinx(2cosx - √3) = 0 là:

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Câu 11. Nghiệm của phương trình tanx = cotx

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Câu 12. Nghiệm của phương trình tan3x.cot2x = 1 là

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Câu 13. Phương trình (sinx + 1)(sinx - √2) = 0 có các nghiệm là:

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Câu 14. Giải phương trình Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Câu 15. Tìm tổng các nghiệm của phương trình Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản trên [0,π]

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản

Bảng đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

B

B

C

D

B

A

B

C

D

A

A

D

A

D

D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: