Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải - Toán lớp 11


Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Với Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập chứng minh bằng phương pháp quy nạp từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

A. Phương pháp giải

Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥ m (m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng P(n) đúng khi n = m.

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy và k ≥ m. Giả sử P(n) đúng khi n = k, ta sẽ chứng minh P(n) cũng đúng khi n= k + 1.

Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ m

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2 (1)

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1 ta có:

Vế trái = 1. 4= 4.

Vế phải = 1.(1+ 1)2 = 4.

=> Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với n=k; k ∈ N*; tức là ta có:

1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)=k(k+1)2 (2)

Ta chứng minh nó cũng đúng với n= k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.4+2.7+⋅⋅⋅+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2

+ Thật vậy do 1.4+ 2.7+ ...+ k. ( 3k+ 1) = k( k+1)2 nên

1.4+2.7+⋯+k( 3k+1)+( k+1).(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)

= k( k2+2k+ 1)+ 3k2 + 4k+ 3k+ 4

= k3 + 2k2 + k+3k2 + 7k+ 4 = k3 + 5k2 + 8k+ 4 = (k + 1).(k + 2)2

Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 2: Chứng ming rằng với mọi số nguyên dương n ta có :

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1:

Vế trái Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Vế phải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

=> Vế trái = Vế phải. Vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

* Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

* Thật vậy

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 3: Với mỗi số nguyên dương n, gọi un = 9n − 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8.

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1 ta có u1 = 91 − 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng).

+ Giả sử uk = 9k − 1 chia hết cho 8 với k ∈ N*

Ta cần chứng minh: uk + 1 = 9k + 1 − 1 chia hết cho 8.

* Thật vậy, ta có uk+1=9k+1 − 1 = 9.9k − 1 = 9(9k − 1) + 8 = 9uk + 8.

Vì 9uk và 8 đều chia hết cho 8

=> uk+ 1 = 9k + 8 ⋮ 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 8.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta luôn có: 2n + 1 > 2n+ 3 (*)

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 2 ta có : 22 + 1 = 8 và 2.2+ 3= 7

=> 8 > 7 nên (*) đúng khi n = 2

+ Giả sử với n = k; k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k+ 1 > 2k + 3 (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với n= k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

2k+2 > 2(k+1)+3

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2.2k+1 > 2(2k+3) ⇔ 2k+2 > 4k + 6 > 2(k + 1) + 3

Vậy 2k+2 > 2(k+1)+3 (đúng).

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1 và vế phải của (1) Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

* Thật vậy 12+32+52+⋅⋅⋅+(2k − 1)2+(2k+1)2 = Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải + (2k+1)2 (thế (2) vào).

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương n và n ≥ 5 thì 2n > n2 (*)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 5 ta có: 25 > 52 ( vì 32 > 25) (đúng).

Vậy (*) đúng với n = 5.

* Giả sử với n= k; k ≥ 5 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k > k2 (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh: 2k+1 > (k+1)2

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2. 2k > 2.k2 ⇔ 2k+1 > k2 + k2

⇔ 2k+1 > k2 + 2k + 1= (k+1)2 (vì k2 > 2k+ 1 với mọi k ≥ 5) .

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n≥5.

Hay lắm đó

Ví dụ 7: Chứng minh với mọi số nguyên n ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1. 2= 2, vế phải của (1) Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Suy ra (1) đúng với n= 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k; k∈N*.Có nghĩa là ta có:

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)=Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải (2)

*Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)=Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Thật vậy:

1.2+2.3+3.4+⋅⋅⋅+k(k+1)+(k+1)(k+2)

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

1.2 + 2.5 + 3.8+ ..+ n(3n − 1) = n2(n+1) (1)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 2, vế phải của (1)= 12.( 1+ 1)= 2.

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) = k2(k+1) (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k+1)(3k+2) = (k+1)2(k+2)

Thật vậy:

1.2 + 2.5 + 3.8 +⋅⋅⋅+ k(3k − 1) + (k + 1)(3k + 2) = k2(k+1) + (k + 1)(3k + 2)

= (k + 1)(k2 + 3k + 2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = (k+1)2(k+2) (đpcm).

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n3 − n chia hết cho 3

Hướng dẫn giải:

Đặt un = n3 − n

* Ta có u1 = 13 − 1 = 0 chia hết cho 3

=> đúng với n = 1.

* Giả sử uk = k3 − k chia hết cho 3.

Ta cần chứng minh uk+1 = (k + 1)3 − (k + 1) chia hết cho 3.

* Thật vậy, uk+1 = k3+ 3k2 + 3k + 1 − k − 1 = k3 + 3k2 + 2k

⇔ uk + 1 = (k3 − k) + (3k2 + 3k) = uk +3(k2 + k)

Vì uk và 3(k2 + k) đều chia hết cho 3, nên uk+1 cũng chia hết cho 3.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3.

Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 2n3 − 3n2 + n chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải:

* Đặt un = 2n3 − 3n2 + n

*Ta có: u1 = 2. 13 − 3 . 12 + 1 = 0 chia hết cho 6

=> đúng với n = 1.

* Giả sử uk = 2k3 − 3k2+ k chia hết cho 6.

Ta cần chứng minh: uk + 1 = 2.(k+1)3 − 3.(k+1)2 + k+1 chia hết cho 6.

* Thật vậy ta có: uk+1 = 2.k3+ 6k2 + 6k + 2 − 3k2 − 6k − 3 + k + 1

⇔ uk + 1 = 2k3 + 3k2 + k = 2k3 − 3k2 + k + 6k2 = uk + 6k2

Vì uk và 6k2 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6.

Ví dụ 11: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 13n − 1 chia hết cho 6.

Hướng dẫn giải:

* Đặt un = 13n − 1

* Với n = 1, ta có u1 = 131 − 1 = 12 chia hết cho 6

=> đúng với n = 1.

* Giả sử uk = 13k − 1 chia hết cho 6 (với k ∈ N*).

Ta cần chứng minh: uk+1= 13k+1 − 1 ⋮ 6 .

* Thật vậy ta có: uk+1 = 13 . 13k − 1 = 13(13k − 1) + 12 = 13.uk + 12

Vì 13uk và 12 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6.

Ví dụ 12: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 3 thì 3n > n2 + 4n + 5 (*)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 3 ta có 33 > 32 + 4.3 + 5 ⇔ 27 > 26 (đúng).

Vậy (*) đúng với n = 3.

* Giả sử với n = k ; k ≥ 3 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 3k > k2 + 4k + 5 (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

3k + 1 > (k+1)2 + 4(k+1) + 5

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 3 ta được: 3.3k > 3.k2 + 12k + 15

⇔ 3k + 1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k+1)+ 5 + (2k2 + 6k + 5) (2)

Vì (2k2 + 6k + 5) > 0 với mọi k ≥ 3 (3)

Từ (2) và (3) suy ra: 3k+1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5

Hay 3k+1 > (k+1)2 + 4(k+1) + 5

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3.

Hay lắm đó

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..+ n(n+1).(n+2) = Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải (1)

Lời giải:

*Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1.2.3= 6, vế phải của Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n = k; k ∈ N*. Có nghĩa là ta có:

1.2.3+2.3.4+3.4.5+⋅⋅⋅+k(k+1)(k+2) = Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Thật vậy:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 2: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ≥ 2 ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Lời giải:

*Với n = 2:

Vế trái của Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải , vế phải của Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Suy ra (1) đúng với n = 2.

* Giả sử (1) đúng với n= k.

Có nghĩa là ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Ta chứng minh (1) đúng với n= k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh: Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Thật vậy ta có: Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Vậy (1) đúng khi n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 .

Câu 3: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Lời giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1, vế phải của (1)= 2√1 = 2.

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n = k; k ≥ 1

Có nghĩa là ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

*Thật vậy:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Vì: Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

⇔ 2√(k(k+1) ) + 1 < 2(k+1)

⇔ 2√(k2 + k) < 2k+1 ⇔ 4(k2 + k) < (2k + 1)2

⇔ 4k2 + 4k < 4k2 + 4k + 1 ( luôn đúng ) do đó (3) luôn đúng với mọi số nguyên dương k.

Vậy (1) đúng khi n = k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 4: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Lời giải:

*Với n = 1: Vế trái của Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải , vế phải của Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Suy ra (1) đúng với n = 1.

*Giả sử (1) đúng với n = k. Có nghĩa là ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Thật vậy:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Vậy (1) đúng khi n = k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 4: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Lời giải:

* Với n = 1: Vế trái của Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải , vế phải của Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải .

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với k; k ∈ N* . Có nghĩa là ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1. Ta phải chứng minh:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

* Thật vậy:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 5: Chứng minh với mọi số nguyên n thì n3 + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

+ Với n = 1 ta có 13 + 11 . 1 = 12 chia hết cho 6 đúng.

+Giả sử với n = k (k ∈ N*) thì k3 + 11k chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh với n = k + 1 thì (k+1)3 + 11( k+1) chia hết cho 6.

+ Thật vậy ta có:

(k+1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1+ 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k(k + 1)+ 12 (*)

+ Do k3 + 11k chia hết cho 6 theo bước 2.

k(k + 1)⋮ nên 3k(k+1) ⋮ 6

và 12 ⋮ 6

=> (k3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12 ⋮ 6

Từ đó suy ra (k + 1)3 + 11(k + 1) ⋮ 6 (đpcm).

Câu 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.

Lời giải:

* Đặt un = n3 + 3n2 + 5n

* Ta có u1 = 13 + 3.12 + 5 . 1 = 9 ⋮ 3.

=> đúng với n = 1

* Giả sử uk = k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3.

Ta cần chứng minh uk+1 = (k+1)3 + 3.(k+1)2 + 5(k + 1) ⋮ 3

* Thật vậy, uk + 1 = k3 + 3k2 +3k + 1 + 3k2 + 6k + 3+ 5k + 5

⇔ uk+1 = (k3 + 3k2 + 5k) + (3k2 + 9k + 9) = uk + 3(k2 + 3k + 3)

Vì uk ⋮ 3 và 3( k2 + 3k + 3) ⋮ 3 nên uk+1 ⋮ 3

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3.

Hay lắm đó

Câu 7: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 4n + 15n − 1 chia hết cho 9

Lời giải:

*Đặt un = 4n + 15n − 1

*Với n = 1, ta có u1 = 41 + 15 . 1 − 1 = 18 chia hết cho 9

=>đúng với n = 1.

* Giả sử uk = 4k +15k − 1 chia hết cho 9.

Ta cần chứng minh uk + 1 = 4k + 1 + 15(k + 1) − 1 chia hết cho 9.

*Thật vậy ta có: uk+1 = 4.4k + 15k+ 14 = 4( 4k + 15k − 1) − 45k + 18 = 4.uk + 9(2 − 5k)

Vì 4uk và 9(2 − 5k) đều chia hết cho 9, nên uk+1 cũng chia hết cho 9.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9.

Câu 8: Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì 4n + 6n + 8 chia hết cho 9

Lời giải:

* Đặt un = 4n + 6n+ 8

* Với n = 1, ta có u1 = 41 + 6 . 1 + 8 = 18 chia hết cho 9

=> đúng với n = 1.

* Giả sử uk = 4k + 6k + 8 chia hết cho 9.

Ta cần chứng minh uk + 1 = 4k + 1 + 6(k+ 1)+ 8 chia hết cho 9.

Thật vậy ta có uk+1 = 4. 4k + 6k + 14 = 4. (4k + 6k + 8) − 18k + 18 = 4.uk + 18(1 − k)

Vì 4uk và 18(1 − k) đều chia hết cho 9, nên uk+1 cũng chia hết cho 9.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9

Câu 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 7.22n − 2 + 32n − 1 chia hết cho 5?

Lời giải:

* Đặt un = 7. 22n − 2 +32n − 1

* Với n = 1, ta có u1 = 7. 22 . 1 − 2 + 32 . 1 − 1 = 10 chia hết cho 5

=>đúng với n= 1.

* Giả sử uk = 7. 22k − 2 +32k − 1 chia hết cho 5.

Ta cần chứng minh uk+1 = 7.22k + 32k + 1 chia hết cho 5.

Thật vậy ta có uk+1 = 4.(7.22k−2 + 32k − 1) − 4. 32k − 1 + 32k+1 = 4uk + 5.32k−1

Vì 4.uk và 5.32k−1 đều chia hết cho 5, nên uk+1 cũng chia hết cho 5.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 5.

Câu 10: Chứng minh với mọi n nguyên và n ≥ 4 ta có: 3n − 1 > n(n+ 2) (1)

Lời giải:

* Với n = 4, VT = 34 − 1 = 27 và VP = 4.(4 + 2)= 24

=> 27 > 24 nên (1) đúng với n = 4

* Giả sử với k ≥ 4;k ∈ N ta có : 3k−1 > k(k+2).

Ta cần chứng minh : 3k > (k + 1)(k + 3)

Thật vậy, ta có : 3k = 3.3k−1 > 3k.(k+ 2).

Lại có :

3k(k+ 2) > (k+1)(k+ 3) ⇔ 2k2 +2k − 4 > 0 bất đẳng thức này đúng với mọi k ≥ k.

Suy ra 3k > (k + 1)(k+3) (đúng).

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 4.

Câu 11: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 2 ta có :

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Lời giải:

* Đặt Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

* Với n= 2 ta có Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

=> đúng với n= 2.

*Giả sử với n = k ≥ 2 ; k ∈ N thì (*) đúng, có nghĩa ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

*Ta phải chứng minh (*) đúng với n=k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

*Thật vậy ta có:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

*Vậy uk+1 > uk > Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải (đúng). Vậy (*) đúng với n = k + 1.

*Suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2.

Câu 12: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: nn ≥ (n+1)n − 1 ( 1)

Lời giải:

* Với n = 1 ta có 11 ≥ (1+1)0 hay 1 ≥ 1 (đúng).

Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử với n = k ; k ∈ N* thì (1) đúng, có nghĩa ta có: kk ≥ (k+1)k − 1 (2).

Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

(k+1)k+1 ≥ (k+2)k

Thật vậy, nhân hai vế của (2) với (k+1)k+1 ta được:

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Vậy (*) đúng với n = k + 1. Do đó (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: