Cách xét Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số cực hay - Toán lớp 11

---

Cách xét Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số cực hay

Với Cách xét Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Dãy số tăng, dãy số giảm

    ♦ Dãy số (u_n) gọi là dãy tăng nếu u_n < u_n+1 ∀n ∈ ¥

    ♦ Dãy số (u_n) gọi là dãy giảm nếu u_n > u_n+1 ∀n ∈ ¥

2. Dãy số bị chặn

    ♦ Dãy số (u_n) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực sao cho u_n < M ∀n ∈ ¥.

    ♦ Dãy số (u_n) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực sao cho u_n > m∀n ∈ ¥..

    ♦ Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao cho |u_n | < M ∀n ∈ ¥..

    ♦ Để xét tính đơn điệu của dãy số (u_n) ta xét : k_n=(u_n+1-u_n)

        * Nếu k_n > 0∀n ∈ ¥ ⇒ dãy (u_n) tăng

        * Nếu k_n < 0∀n ∈ ¥ ⇒ dãy (u_n) giảm.

Khi u_n > 0 ∀n ∈ ¥ ta có thể xét

        * Nếu t_n > 1 ⇒ dãy số (u_n) tăng

        * Nếu t_n < 1 ⇒ dãy số (u_n) giảm

    ♦ Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đoán rồi chứng minh bằng quy nạp.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho dãy số (u_n). Chứng minh rằng dãy u_n là dãy giảm và bị chặn.

Đáp án và hướng dẫn giải

Do đó, để chứng minh dãy (u_n) giảm ta chứng minh u_n > 1∀n ≥ 1

Thật vậy:

Với n = 1 ⇒ u₁=2 > 1

Theo nguyên lí quy nạp ta có u_n > 1 ∀n ≥ 1

Suy ra u_n-u_n-1 < 0 ⇔ u_n < u_n-1 ∀n ≥ 2 hay dãy (u_n) giảm

Theo chứng minh trên, ta có: 1 < u_n < u₁=2∀n ≥ 1

Vậy dãy (u_n) là dãy bị chặn.

Bài 2: Cho dãy số (u_n). Chứng minh rằng dãy (u_n) là dãy tăng và bị chặn

Đáp án và hướng dẫn giải

Ta chứng minh dãy (u_n) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp

* Dễ thấy: u₁ < u₂ < u₃.

* Giả sử u_k-1 < u_k ∀k ≥ 2, ta chứng minh u_k+1 > u_k.

Vậy (u_n) là dãy tăng.

Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được u_n < 4 ∀n , hơn nữa u_n > 0

Nên dãy (u_n) là dãy bị chặn.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau

Lời giải:

1. Ta có:

nên dãy (u_n) là dãy tăng

2. Ta có:

Nên dãy (u_n) giảm.

Bài 2: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) , biết:

Lời giải:

1. Ta có:

với mọi n ≥ 1.

Suy ra u_(n+1) > u_n ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (u_n) là dãy tăng.

Mặt khác:

Vậy dãy (u_n) là dãy bị chặn.

2. Ta có:

3. Ta có: u_n > 0 ∀n ≥ 1

⇒ u_(n+1) < u_n ∀n ≥ 1 ⇒ dãy (u_n) là dãy số giảm.

Mặt khác: 0 < u_n < 1 ⇒ dãy (u_n) là dãy bị chặn.

Bài 3: Cho dãy số (u_n):

a) Khi a = 4, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy

b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.

Lời giải:

a) Với a = 4 ta có:

Ta có: 5 số hạng đầu của dãy là

u₁=6; u₂=10/3; u₃=14/5; u₄=18/7; u₅=22/9.

b) Ta có dãy số u_n tăng khi và chỉ khi

⇒ -a-4 > 0 ⇒ a < -4

Bài 4: Cho dãy số (u_n)

a) Viết 6 số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh u_n=3^(n-1)+1;n=1,2…

Lời giải:

a) Ta có: u₁=2;u₂=4;u₃=10;u₄=28;u₅=82;u₆=244.

b) Chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp hoặc chứng minh bằng cách sau

Ta có: u_n-1=3(u_(n-1)-1)=3² (u_(n-2)-1)=⋯=3^(n-1) (u₁-1)

Suy ra: u_n-1=3^(n-1) ⇒ u_n=1+3^(n-1).

Bài 5: Cho dãy số u_n=-5^(n-1)+3ⁿ+n+2;n=1,2…

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh rằng: u_n=2u_(n-1)+3^(n-1)-n.

Lời giải:

Với mọi n =

Suy ra u_n < u₀-n+1=2012-n

Do đó: 2011 – n < u_n < 2012-n ⇒ [ u_n ]=2011-n

với n =

Vì u₀=2011 và

Nên [u₀ ]=2011-0,[u₁ ]=2011-1

Vậy [u_n ]=2011-n,n = .