Cách tìm ảnh của đường tròn qua phép quay cực hay - Toán lớp 11
Cách tìm ảnh của đường tròn qua phép quay cực hay
Với Cách tìm ảnh của đường tròn qua phép quay cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm ảnh của đường tròn qua phép quay từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
Cách 1: Dựa vào tính chất của phép quay.
Cho đường tròn C(A;R) và Q(I,α)((C)) = (C'), với C'(A';R').
Khi đó ta có:
i) R' = R.
ii) Q(I,α)(A) = A' (quay về dạng toán tìm tọa độ điểm)
Cách 2: Dựa vào biểu thức toạ độ (Phương pháp quỹ tích)
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -90° biết: (C): (x + 4)2 + (y - 1)2 = 16
Hướng dẫn giải:
Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) và bán kính R = 4. Khi đó: Q(O,-90°)(I) = I'(1;4) và bán kính R'=R = 4
Vậy: Q(O,-90°)(C) = (C'): (x - 1)2 + (y - 4)2 = 16
Ví dụ 2: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 90° biết: (C): (x + 3)2 + (y - 2)2 = 25
Hướng dẫn giải:
Từ (C), ta có tâm I(-3; 2) và bán kính R = 5. Khi đó: Q(O,-90°)(I) = I'(-2;-3) và bán kính R' = R = 5
Vậy: Q(O,-90°)(C) = (C'): (x + 2)2 + (y + 3)2 = 25
Ví dụ 3: Tìm ảnh của các đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 1)2 = 9 qua phép quay tâm O góc 90°
Hướng dẫn giải:
Ta có: (x + 1)2 + (y - 1)2 = 9 có tâm I(-1;1) bán kính r = 3
Gọi I' là ảnh của tâm I qua Q(O,90°) ⇒ I'(-1;-1)
Suy ra ảnh của đường tròn qua phép quay trên là (x + 1)2 + (y + 1)2 = 9.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 qua phép quay Q(I;90°) với I(3;4).
A. (C'): (x + 2)2 + (y - 2)2 = 9
B. (C'): (x - 3)2 + (y + 2)2 = 9
C. (C'): (x + 5)2 + (y - 7)2 = 9
D. (C'): (x + 3)2 + (y - 2)2 = 9
Lời giải:
(C) có tâm J(1;-2), R = 3, gọi J'(x';y') = Q(I;90°)(I) ta có
⇒ J'(-3;2) mà R' = R = 3 nên phương trình (C'): (x + 3)2 + (y - 2)2 = 9.
Câu 2. Tìm ảnh của các đường tròn (C): x2 + (y - 2)2 = 4 qua phép quay tâm O góc 90°
A. (x - 2)2 + y2 = 16
B. (x + 2)2 + y2 = 4
C. (x - 2)2 + y2 = 4
D. x2 + (y - 2)2 = 4
Lời giải:
.
Chọn C
Ta có: x2 + (y - 2)2 = 4 có tâm I(0;2) bán kính r = 2
Gọi I' là ảnh của tâm I qua Q(O,90°) ⇒ I'(-2;0)
Suy ra ảnh của đường tròn qua phép quay trên là (x - 2)2 + y2 = 4.
Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C): x2 + y2 -2x + 4y - 4 = 0 qua phép quay Q(O,-π/2).
A. (x + 2)2 + (y + 1)2 = 9.
B. (x - 2)2 + (y - 1)2 = 9.
C. (x - 2)2 + (y + 1)2 = 9.
D. (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9.
Lời giải:
.
Chọn A
Cách 1: Đường tròn (C) có tâm I(1;-2), bán kính R = 3.
Q(O,-π/2)(I) = I' ⇒ I'(-2;-1)
Đường tròn (C') có tâm I'(-2;-1), bán kính R' = R = 3 có phương trình: (x + 2)2 + (y + 1)2 = 9
Cách 2: Phương pháp quỹ tích
Ta có Q(O,-π/2): M(x;y) → M'(x';y') với ∀ M ∈ (C) ⇒ M' ∈ (C')
Từ biểu thức tọa độ 
Thế vào: (C): (-y')2 + (x')2 + 2y'+ 4x' - 4 = 0 ⇔ (x')2 + (y')2 + 4x' + 2y' - 4 = 0 ⇔ (x' + 2)2 + (y' + 1)2 = 9
Câu 4. Trong mặt phắng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 6x + 5 = 0. Tìm ảnh đường tròn (C) qua Q(O,-90°)
A. x2 + (y - 3)2 = 4.
B. x2 + y2 + 6y - 6 = 0
C. x2 + (y + 3)2 = 4
D. (C): x2 + y2 + 6x - 5 = 0
Lời giải:
.
Chọn C.
Đường tròn (C) có tâm I(-3;0) và bán kính R = 2. Q(O,90°)(I) = I' ⇒ I'(0;-3)
Vậy ảnh của (C) là: x2 + (y + 3)2 = 4
Câu 5. Tìm ảnh của các đường tròn c) x2 + y2 -4x - 2y - 4 = 0 qua phép quay tâm O góc 90° A.(x + 1)2 + (y - 2)2 = 9 B.(x + 1)2 + (y + 2)2 = 9 C.(x + 1)2 + (y - 2)2 =3 D.(x - 1)2 + (y - 2)2 = 9
Lời giải:
.
Chọn A
Ta có: x2 + y2 - 4x - 2y - 4 = 0 có tâm I(2;1) bán kính r = 3
Gọi I' là ảnh của tâm I qua Q(O,90°) ⇒ I'(-1;2)
Suy ra ảnh của đường tròn qua phép quay trên là (x + 1)2 + (y - 2)2 = 9.
Câu 6. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 qua phép quay Q(I;90°) với I(3;4).
A. (C'): (x + 2)2 + (y - 2)2 = 9.
B. (C'): (x - 3)2 + (y + 2)2 = 9.
C. (C'): (x + 5)2 + (y - 7)2 = 9.
D. (C'): (x + 3)2 + (y - 2)2 = 9.
Lời giải:
Chọn D
+ (C) có tâm J(1;-2), R = 3, gọi J'(x';y') = Q(I;90°)(I) ta có:
⇒ J'(-3;2) mà R' = R = 3 nên phương trình (C'): (x + 3)2 + (y - 2)2 = 9.
Câu 7. Trong mặt phằng tọa độ Oxy, Tìm ảnh của đường tròn (C): (x - 1)2 + y2 = 4 qua phép quay tâm O góc quay 450
Lời giải:
.
Chọn A.
Đường tròn (C) có tâm I(1;0) và bán kính R = 2
Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 3)2 = 9. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 180°.
A. (x - 2)2 + (y - 3)2 = 9.
B. (x + 2)2 + (y + 3)2 = 9.
C. (x + 2)2 + (y - 3)2 = 9.
D. (x + 2)2 + (y - 3)2 =3
Lời giải:
Chọn C
Cách 1:
+) Đường tròn (C) có tâmI(2;-3) và bán kính R = 3.
+) Gọi C'(I',R') là ảnh của (C) qua phép quay Q(0,180°).
Khi đó ta có: R' = R = 3 và Q(0,180°)(I) = I', suy ra: 
+) Vậy (C') có PT là: (x + 2)2 + (y - 3)2 = 9.
Cách 2:
+ Gọi (C') là ảnh của (C) qua phép quay Q(0,180°).
+) Với mọi điểm M(x;y) ∈ (C),M'(x';y') ∈ (C') sao cho Q(0,180°)(M) = M'.
+) Khi đó ta có: 
+) Do M(x;y) ∈ (C) nên ta có: (x - 2)2 + (y + 3)2 = 9 ⇔ (-x' - 2)2 + (-y' + 3)2 = 9 ⇔ (x' + 2)2 + (y' - 3)2 = 9
+) Do M'(x';y') ∈ (C') nên (C') có PT là (x + 2)2 + (y - 3)2 = 9.
