Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11


Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải

Với Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải

A. Phương pháp giải

+ Định nghĩa đạo hàm của hàm số: Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0∈(a;b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f( x) tại điểm x0 và kí hiệu:

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

+ Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Bước 1: giả sử ∆ x là số gia của đối số x0. Tính ∆ y= f(x0 + ∆x) – f(x0) .

Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x

Bước 3.

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x0 < 1 ?

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số y= f(x) liên tục tại x0. Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x0

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 3. Số gia của hàm số y= f(x )= x3 + 1 ứng với x0= 1 và ∆ x= 1 bằng bao nhiêu?

A. – 10        B . 7        C. - 1.        D. 0

Hướng dẫn giải

Ta có ∆y= f( x0+ ∆x)-f(x0 )=( x0+ ∆x)3+1- x03-1

= 3.x02.∆x+3x0 ( ∆x)2+( ∆x)3

Với x0 =1 và ∆ x=1 thì ∆ y=7.

Chọn B

Ví dụ 4 . Tỉ số ∆y/∆x của hàm số f(x) = x2+ x theo x và là

A. 2x02 ∆x+1        B. 2x0- ∆x

C. 2x0+ ∆x+1        D. 2x0.∆x+(∆x)2+1

Hướng dẫn giải

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại xo . Ta có:

∆ y=f( x0+ ∆x)-f( x0 )=( x0+ ∆x)2+ x0+ ∆x- x02- x0

= x02+ 2x0.∆x+( ∆x)2+ x0+ ∆x- x02- x0

= 2x0.∆x+( ∆x)2+ ∆x

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Ví dụ 5. Số gia của hàm số y= f( x) = 2x+ 8 ứng với số gia của đối số x tại x0= 3 là

A. 3        B. 2∆x        C. -2∆x + 3        D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Với số gia của đối số x tại x0 = 3. Ta có

∆ y=f( x0+ ∆x)-f( x0 )=2( x0+ ∆x)+8-2x0-8 = 2∆x

suy ra Số gia của hàm số tại x0 = 3 là 2∆x.

Chọn B

Hay lắm đó

Ví dụ 6. Cho hàm số y= x3- 1. Tính ∆ y của hàm số theo x và ∆ x?

A. 3x2.∆ x+ 3x. (∆x)2+( ∆x)3

B. x2.∆ x+ x. (∆x)2+( ∆x)3

C. 3x2.∆ x+ 3x.(∆x)2+( ∆x)3 +2

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Giả sử ∆ x là số gia của đối số.

+ Ta có; ∆y= f( x+∆x) - f( x) = (x+∆x)3 – 1- x3+1

= x3+ 3x2.∆ x+ 3x. (∆x)2+( ∆x)3 – x3

= 3x2.∆ x+ 3x. (∆x)2+( ∆x)3

Chọn A.

Ví dụ 7. Cho hàm số y= x2+ 2x- 3. Tính tỉ số ∆y/∆x theo x và ∆ x

A. 2x+ ∆x-2        B. 2x+ ∆x+2(∆)2

C. 2x- ∆x+2        D. 2x+ ∆x+2

Hướng dẫn giải

+ Gọi ∆x là số gia của đối số x.

+ Ta có: ∆ y= f(x+ ∆x) – f(x)= [(x+∆x)2 +2(x+ ∆x)- 3] – [x2+ 2x -3]

= x2+ 2x. ∆x + (∆x)2+ 2x +2.∆x – 3 – x2- 2x + 3

= 2x. ∆x + ( ∆x)2+ 2.∆x

+ ∆y/∆x=2x+ ∆x+2

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho hàm số y= f( x)= x2- x, đạo hàm của hàm số ứng với số gia của đối số x tại x0 là

A.x0+1        B. x0 – 2        C. x0 - 2∆x        D. 2x0 - 1

Hướng dẫn giải

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Ví dụ 9. Cho hàm số Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

(I). f' (0)=1

(II) Hàm số không có đạo hàm tại x0= 0.

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I).        B. Chỉ (II).        C. Cả hai đều sai.        D. Cả hai đều đúng.

Hướng dẫn giải

Gọi ∆x là số gia của đối số tại 0 sao cho ∆ x > 0 .

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.

Chọn B.

Ví dụ 10. Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Ví dụ 11. Cho hàm số y= 8x+ 10. Tính đạo hàm của hàm số tại x0= -1.

A. 6        B. 10        C. 8        D. - 15

Hướng dẫn giải

+ Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0= -1.

∆ y= f( -1+ ∆x) – f( -1) = 8( - 1+∆x)+ 10 –[ 8.(- 1)+ 10]

= - 8+ 8∆x+ 10- 2 = 8.∆x

suy ra ∆y/∆x=8 nên

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0= -1 là 8.

Chọn C.

Ví dụ 12. Cho hàm số: Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

A. 0        B. 2        C. 1       D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Ví dụ 13. Cho hàm số Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Ví dụ 14. Cho hàm số Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Với giá trị nào của a; b thì hàm số có đạo hàm tại x= 1?

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Hay lắm đó

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Số gia của hàm số y= - 3x2+ 8 ứng với x và là

A. -6x. ∆x -3(∆x)2        B. -6x. ∆x+ 3(∆x)2- 16

C. 6x. ∆x -3(∆x)2 + 16        D. -6x - 3. ∆x

Lời giải:

+ Gọi ∆x là số gia của đối số x.

+ Ta có: ∆ y= f(x+ ∆x) – f(x)= [ - 3(x+∆x)2 +8] – [- 3x2+ 8]

= -3x2 - 6x. ∆x -3(∆x)2+ 8 + 3x2- 8

= -6x. ∆x -3(∆x)2

Chọn A.

Câu 2: Xét ba mệnh đề sau:

(1) Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm x= x0 thì hàm số liên tục tại điểm đó.

(2) Nếu hàm số y= f( x) liên tục tại điểm x= x0 thì hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm đó.

(3) Nếu y=f(x) gián đoạn tại x= x0 thì chắc chắn hàm số y=f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Trong ba câu trên:

A. Có hai câu đúng và một câu sai.        B. Có một câu đúng và hai câu sai.

C. Cả ba đều đúng.        D. Cả ba đều sai.

Lời giải:

(1) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x= x0 thì hàm số y= f(x) liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.

(2) Nếu hàm số y= f(x) liên tục tại điểm x= x0 thì hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm đó là mệnh đề sai.

Ví dụ : Lấy hàm ta có D= R nên hàm số y= f(x) liên tục trên R .

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Nên hàm số không có đạo hàm tại x= 0.

(3) Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x=x0 thì chắc chắn hàm không có đạo hàm tại điểm đó là mệnh đề đúng.

Vì (1) là mệnh đề đúng nên (1) tương đương với mệnh đề sau: Nếu hàm số y=f( x) không liên tục tại x= x0 thì hàm số y= f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Vậy (3) là mệnh đề đúng.

Chọn A.

Câu 3: Xét hai câu sau:

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (2) đúng.        B. Chỉ có (1) đúng.       C. Cả hai đều đúng.        D. Cả hai đều sai.

Lời giải:

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Câu 4: Cho hàm số y= x2+2|x|-5. Xét hai câu sau:

(1). Hàm số trên có đạo hàm tại x= 0.

(2). Hàm số trên liên tục tại x= 0.

Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (1) đúng.       B. Chỉ có (2) đúng.       C. Cả hai đều đúng.       D. Cả hai đều sai.

Lời giải:

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Câu 5: Tìm a; b để hàm số

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

có đạo hàm tại x= 1.

A. a= - 3; b= 7       B. a= 2; b=2       C. a= 1;b= 3       D. a= 4; b= 0

Lời giải:

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Hay lắm đó

Câu 6: Cho hàm số Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11 tính đạo hàm của hàm số tại x0= 0

A. 1        B. 2       C. 3       D. 5

Lời giải:

Ta có: f(0) = 0. Xét các đạo hàm một bên của hàm số:

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11 tại điểm x0= 0.

A. 2       B. 0       C. 3       D. đáp án khác

Lời giải:

Ta có: f(0) = 1. Ta xét các đạo hàm một bên của hàm số:

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số y= f(x)= 2x3 +1 tại các điểm x= 2.

A. 12        B. 16        C. 24        D. 18

Lời giải:

Ta có: f(2) = 2.23+ 1= 17

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số y= f(x)= √(x2+3) tại x= 1

A.1        B. 1/2        C. 2        D. 1/4

Lời giải:

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11 khi x≠0 tại x = 0

A. 1/2        B.1        C. 2        D. 1/4

Lời giải:

Ta có f(0) = 0

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Câu 11: Cho hàm số y= f(x)= (2x2+ |x+1|)/(x-1). Tìm mệnh đề đúng?

A. Hàm số đã cho có đạo hàm tại x= -1.

B. Hàm số đã cho liên tục nhưng không có đạo hàm tại x= -1.

C. Hàm số đã cho không liên tục tại x= -1

D. Hàm số đã cho có đạo hàm tại x= -1 nhưng không liên tục tại điểm đó.

Lời giải:

Vì hàm số y= f(x) xác định tại x= -1 nên nó liên tục tại đó.

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Câu 12: Tìm a để hàm số Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11 có đạo hàm tại x= 1

A. – 1        B. 1        B. – 2        D. 2

Lời giải:

Để hàm số có đạo hàm tại x= 1 thì trước hết hàm số phải liên tục tại x= 1

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11 tại x0= 1.

A. 0        B. 4        C. 5        D. Đáp án khác

Lời giải:

Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải - Toán lớp 11

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: