Cách tính đạo hàm của hàm số lượng giác cực hay - Toán lớp 11

---

Cách tính đạo hàm của hàm số lượng giác cực hay

Với Cách tính đạo hàm của hàm số lượng giác cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính đạo hàm của hàm số lượng giác từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số :

Trong đó hàm số y= f(x) có đạo hàm tại các điểm mà hàm số xác định

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số y= sin (2x+ 8)?

A. 2 cos(2x+ 8)        B. cos( 2x+ 8)        C. –cos( 2x+ 8)        D. -2cos( 2x+ 8)

Hướng dẫn giải

+ áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có;

y'=cos⁡( 2x+8).( 2x+8)' = 2cos( 2x+ 8)

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số: y= cos( x²+ 7x- 9)?

A.- sin( x² + 7x- 9)        B.- sin ( x²+ 7x – 9)( x²+ 7x- 9)

C. – (2x+7). sin(x² + 7x- 9)        D. sin(x²+ 7x- 9)( 2x+7)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:

y'= -sin⁡(x²+7x-9).(x²+7x-9)' = - sin(x²+ 7x- 9).( 2x+ 7).

Chọn C.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: y= sin 8x+ cos 2x

A. cos8x – sin2x        B. 8 cos8x – 2sin 2x

C. 8.cos8x + 2sin2x        D. – cos8x + sin 2x

Hướng dẫn giải

Ta có: y'=( sin8x)'+(cos2x)'=8 cos⁡8x-2 sin⁡2x

Chọn B.

Ví dụ 4.Tính đạo hàm của hàm số: y=2 sin⁡( √(x²+4x)-1) ?

Hướng dẫn giải

Ví dụ 5.Tính đạo hàm của hàm số y= tan( 4x+ 1) – cot 2x?

Hướng dẫn giải

Ví dụ 6. Tính đạo hàm của hàm số: y=tan⁡( √(x²+2x))

Hướng dẫn giải

Ví dụ 7. Tính đạo hàm của hàm số: y= sin( x²- 3x) – tan(x²- 1)?

Hướng dẫn giải

Ví dụ 8. Tính đạo hàm của hàm số: y= sin⁴ ( 6x-2)?

A. 4.sin³ ( 6x-2)

B. 4.sin³ ( 6x-2).cos⁡( 6x-2)

C. 24.sin³ ( 6x-2).cos⁡( 6x-2)

D. -24.sin³ ( 6x-2).cos⁡( 6x-2)

Hướng dẫn giải

Ta có: y'=4.sin³ ( 6x-2).[sin⁡( 6x-2) ]'

⇔ y'= 4.sin³ ( 6x-2).cos⁡( 6x-2).( 6x-2)'

⇔ y'= 24.sin³ ( 6x-2).cos⁡( 6x-2)

Chọn C.

Ví dụ 9. Tính đạo hàm của hàm số y= xsin(x+ 1)?

A. sin(x+ 1) + x. cos( x+ 1)        B. cos( x+ 1) – x.sin ( x+1)

C. – sin( x+ 1) + x.cos( x+ 1)        D. sin( x+ 1) – x.cos(x+ 1)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có:

y'=( x' ).sin⁡(x+1)+ x.[sin⁡(x+1)]'

⇔ y'=1.sin⁡(x+1)+x.cos⁡(x+1 ) ( x+1)'

⇔ y'=sin⁡(x+1)+x.cos⁡( x+1).

Chọn A.

Ví dụ 10.Tính đạo hàm của hàm số y= ( 1+ tanx)⁴

Hướng dẫn giải

Ví dụ 11. Tính đạo hàm của hàm số y= √(sin⁡4x)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp y= √u với u= sin4x ta có:

Ví dụ 12. Tính đạo hàm của hàm số y= √(cos⁡( x³- x²+2))?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp y =√u với u= cos⁡( x³- x²+2) ta có

Ví dụ 13. Tính đạo hàm của hàm số y= sin( tanx)?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm số lượng giác ta có;

Ví dụ 14.Tính đạo hàm của hàm số y= sin²x. cosx

A. 2cos²x – sin²x .cosx        B. - sinx. cos²x + sin³x

C. 2sinx. cos²x + sin³x        D. 2sinx. cos²x – sin³x

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác và đạo hàm của một tích ta có:

y'=( sin² x)'.cosx+ sin² x( cosx)'

⇔ y'=2sinx.( sinx)'.cosx+ sin²x.(-sinx)

⇔ y'=2sinx.cosx.cosx- sin³ x = 2sinx. cos²x – sin³x

Chon D

Ví dụ 15. Tính đạo hàm của hàm số y= x/cosx

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của một thương ta có:

Ví dụ 16. Tính đạo hàm của hàm số y= (x²+ 2x).cos x

A. ( 2x+2).cosx+( x²+2x).sinx B. ( 2x+2).cosx-( x²+2x)

C. ( 2x+2).cosx-( x²+2x).sinx D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có:

y'=( x²+2x)'.cosx+( x²+2x).( cosx)'

⇔y'=( 2x+2).cosx-( x²+2x).sinx

Chọn C.

Ví dụ 17. Tính đạo hàm của hàm số y= (1- cos 2x) (2- sin3x)

A. y'=-2sin2x.( 2-sin3x)+3cos 3x( 1- cos2x)

B. y'=2sin2x.( 2-sin3x)-3cos 3x( 1- cos2x)

C. y'=2sin2x.( 2-sin3x)+3cos 3x( 1- cos2x)

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có

y'=( 1-cos2x)'.( 2-sin3x)+( 1-cos2x).( 2-sin3x)'

⇔ y'=sin⁡2x.( 2x)'.( 2-sin3x)+( 1-cos2x).( -cos3x).( 3x)'

⇔ y'=2sin2x.( 2-sin3x)-3cos 3x( 1- cos2x)

Chọn B.

Ví dụ 18. Tính đạo hàm của hàm số:

Hướng dẫn giải

Ví dụ 19. Tính đạo hàm của hàm số sau

Hướng dẫn giải

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số y= sin (x²+ 4x- 20)?x

A. ( 2x- 4) cos(x²+ 4x – 20 )        B. (x²+ 4x- 20). cos(x² +4x- 20)

C. (2x+ 4).cos( x²+ 4x- 20)        D. -2cos( x²+4x- 20)

Lời giải:

+ Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có;

y'=cos⁡(x²+ 4x-20).( x²+4x-20)' = cos(x²+ 4x- 20).( 2x+ 4)

Chọn C

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số: y= cos( x²+√x - 2)?

A. - sin(x²+ √x - 2).( 2x+ 1/(2√x)).        B.- sin ( x²+√x – 2)( x²+√x- 2)

C. – (2x+√x). sin(x² + √x- 2)        D. sin(x²+ 7x- 2)( 2x+ √x)

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:

y'= -sin⁡(x²+√x-2).(x²+√x-2)' = - sin(x²+ √x - 2).( 2x+ 1/(2√x)).

Chọn A.

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số: y= 3sin 2x - 4cos 6x

A. - 6 cos2x + 24 sin6x        B. 6cos2x + 24sin 6x

C. 6.cos2x + 2sin6x        D. 3cos2x + 4sin x

Lời giải:

Ta có: y'=( 3sin2x)'- (4cos6x)'=3.2 cos⁡2x+4.6 sin⁡6x

Hay y'=6cos2x+24. sin⁡6x

Chọn B.

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số: y=4 sin⁡( √(2x+3)-x²+2x) ?

Lời giải:

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số y= 3tan(x² - 1) – 4cot 4x?

Lời giải:

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số: y=tan⁡( √(2x²+x))+x -10

Lời giải:

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số: y= sin[ (x- 1)( x+ 2) + 10] – tan(x³- x²)?

Lời giải:

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số: y= sin³ ( √(4x+2))?

Lời giải:

Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số y= ( 2x+ 2) .sin( 2x- 3)?

A. sin⁡(2x-3)+2(2x+2).cos⁡( 2x-3).

B. 2sin⁡(2x-3)+(2x+2).cos⁡( 2x-3).

C. 2sin⁡(2x-3)-2(2x+2).cos⁡( 2x-3).

D. 2sin⁡(2x-3)+2(2x+2).cos⁡( 2x-3).

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có:

y'=( 2x+2)'.sin⁡(2x-3)+ (2x+2).[sin⁡(2x-3)]'

⇔ y'=2.sin⁡(2x-3)+( 2x+2).cos⁡(2x-3 ) (2x-3)'

⇔ y'=2sin⁡(2x-3)+2(2x+2).cos⁡( 2x-3).

Chọn D.

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số y= ( -cotx+ tanx)³

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hơp y= un với u= -cotx+ tanx ta được”

y'=3.(-cot⁡x+tanx)².(-cotx+tanx)'

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số y= √(sin⁡(x³+ x²-x))

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp y= √u với u= sin⁡(x³+ x²-x) ta có:

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số y= √(cos³ ( 2x+2) ) ?

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp y =√u với u= cos³ ( 2x+2) ta có

Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số y= 2cos(3cot 2x)?

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm số lượng giác ta có;

y'=-2 sin⁡( 3cot2x).( 3.cot2x)'

Câu 14: Tính đạo hàm của hàm số y= sin( 2x- 3).cos( 8- 4x)

A. 2 cos⁡( 2x-3).cos⁡( 8-4x)+2 sin⁡( 2x-3).sin⁡( 8-4x)

B. - 2 cos⁡( 2x-3).cos⁡( 8-4x)-8 sin⁡( 2x-3).sin⁡( 8-4x)

C. - 2 cos⁡( 2x-3).cos⁡( 8-4x)-4 sin⁡( 2x-3).sin( 8-4x)

D. 2 cos⁡( 2x-3).cos⁡( 8-4x)+4 sin⁡( 2x-3).sin( 8-4x)

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác và đạo hàm của một tích ta có:

y^'=[sin⁡( 2x-3)]'.cos⁡( 8-4x)+sin⁡( 2x-3).[cos⁡(8-4x)]'

⇔ y'=cos⁡( 2x-3).(2x-3)'.cos⁡( 8-4x)

+sin( 2x-3).( -sin⁡( 8-4x) ).( 8-4x)'

⇔y'=2 cos⁡( 2x-3).cos⁡( 8-4x)+4 sin⁡( 2x-3).sin( 8-4x)

Chọn D.

Câu 15: Tính đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của một thương ta có:

Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số y= √(2x³+ x²-1) .sinx

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có:

Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số y= ( 2x +cos x) ( cos2x- sin3x)?

A. ( 2- sin⁡x) .( cos2x-sin3x)+(2x+cosx).(2sin2x-3cos3x)

B. ( 2+ sin⁡x) .( cos2x-sin3x)+(2x+cosx).(- 2sin2x-3cos3x)

C. ( 2- sin⁡x) .( cos2x-sin3x)+(2x+cosx).(- 2sin2x-3cos3x)

D.Đáp án khác

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có

y'=( 2x+ cosx)'.(cos2x-sin3x)+( 2x+ cosx).( cos2x-sin3x)'

⇔ y'=( 2- sin⁡x) .( cos2x-sin3x)+(2x+cosx).(- 2sin2x-3cos3x)

Chọn C.

Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm của một thương

Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số y= 1/cot⁡( x²+2x) ?

Lời giải:

Câu 20: Tính đạo hàm của hàm số:

Lời giải:

Câu 21: Tính đạo hàm của hàm số sau: y=sin⁡(x+1)/(x-2)

Lời giải: