Cách tính đạo hàm tại 1 điểm hay, chi tiết - Toán lớp 11

---

Cách tính đạo hàm tại 1 điểm hay, chi tiết

Với Cách tính đạo hàm tại 1 điểm hay, chi tiết Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính đạo hàm tại 1 điểm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

Cho hàm số y= f(x). Tính đạo hàm của hàm số tại x= x₀.

+ Bước 1. Tính đạo hàm của hàm số: y’(x)= .....

+ Bước 2. Tính đạo hàm của hàm số tại x₀: thay giá trị x= x₀ vào y’(x); suy ra y’(x₀).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Cho hàm số y= x³+ 2x² – 2x+ 10. Tính đạo hàm của hàm số tại x= 1

A. 5        B. – 2        C. 7        D. 10

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là : y'= 3x² +4x- 2

⇒ Đạo hàm của hàm số tại điểm x=1 là y' ( 1)= 3. 12+ 4.1- 2= 5

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho hàm số y= x²+ 2x- 81. Biết rằng đạo hàm của hàm số tại x= x₀ bằng 4. Tìm x₀?

A. – 2        B. – 1        C. 1        D. 2

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là ; y'= 2x+ 2

Theo giả thiết ta có: y' (x₀ )=4 nên 2x₀ + 2= 4

⇔2x₀= 2 ⇔ x₀ = 1

Chọn C.

Ví dụ 3.Cho hàm số y= 16√x+2x- x². Tính đạo hàm của hàm số tại x= 4.

A. – 1        B. – 2        C. 0        D. 2

Hướng dẫn giải

Tại các điểm x > 0 thì hàm số đã cho có đạo hàm và

y'= 8/√x+2-2x

⇒ Đạo hàm của hàm số đã cho tại x= 4 là : y' ( 4)= 8/√4+2-2.4= -2

Chọn B.

Ví dụ 4. Cho hàm số y= (2-2x)/(4x-1). Hỏi tại giá trị x bằng bao nhiêu thì y'= -6?

Hướng dẫn giải

Điều kiện : x≠1/4

Với mọi x thỏa mãn điều kiện; ta có đạo hàm của hàm số là

Ví dụ 5.Cho hàm số y= x³+ mx+ 6. Xác định m biết y' (-2)= 20?

A. m= 8        B. m= - 5        C. m= 6        D. m= - 10

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là : y'= 3x²+ m

⇒ y' ( -2 )=12+m

Theo giả thiết ta có: 12+ m= 20 ⇒m= 8

Chọn A.

Ví dụ 6. Cho hàm số y= (x²+2x-1)/(2x-2). Tính đạo hàm của hàm số tại x= - 2

Hướng dẫn giải

Điều kiện : x≠1

Với mọi x≠1 hàm số có đạo hàm là;

Ví dụ 7. Cho hàm số y= √(x²+4x+88). Tính đạo hàm của hàm số đã cho tại x= 2.

A. 1        B. 2/5        C. 1/5        D. 4/5

Hướng dẫn giải

Ta có: x²+ 4x+ 88= ( x+ 2)² + 84 > 0 với mọi x.

⇒ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm

Ví dụ 8. Cho hàm số y= √(x²-3x+2) + x³- x². Tính đạo hàm của hàm số đã cho tại x= 3/2?

A. 1        B. 2        C. 4        D.không tồn tại

Hướng dẫn giải

+ Điều kiện : x ≤1;x ≥2

+ Tại các điểm x thỏa mãn x2- 3x+ 2 > 0 thì hàm số có đạo hàm .

+ Điểm x= 3/2 không thỏa mãn điều kiện xác định nên hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

Chọn D.

Ví dụ 9. Cho hàm số y= ( 2x+ x²)². Tính đạo hàm của hàm số tại x= - 1?

A. 0        B. 2        C. – 2        D .4

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=2( 2x+ x² )( 2x+ x² )' = 2( 2x+ x² )( 2+2x)

⇒Đạo hàm của hàm số tại x= -1 là y’( - 1) = 0.

Chọn A.

Ví dụ 10. Cho hàm số y=( 1+ √x+x)². Tính đạo hàm của hàm số tại x= 1?

A. 6        B. 8        C. 9        D. 10

Hướng dẫn giải

+ Với x > 0 thì hàm số đã cho có đạo hàm và

y'=2( 1+√x+x).( 1+ √x+x)'

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y= 2x³+ 3x² + 5x+ 9. Tính đạo hàm của hàm số tại x=- 1

A. 5        B. – 2        C. 7        D. 10

Lời giải:

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là : y'= 6x² +6x + 5

⇒ Đạo hàm của hàm số tại điểm x=-1 là y' (-1)= 6.( -1)² + 6.(-1)+ 5= 5

Chọn A.

Câu 2: Cho hàm số y= 2x²+ 4x- 1. Biết rằng đạo hàm của hàm số tại x= x₀ bằng 8. Tìm x₀?

A. – 2        B. – 1        C. 1        D. 2

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là ; y'= 4x+ 4

Theo giả thiết ta có: y' (x₀ )=8 nên 4x₀ + 4= 8

⇔4x₀= 4 ⇔ x₀ = 1

Chọn C.

Câu 3: Cho hàm số y= 8√(x+1)+3x- x³. Tính đạo hàm của hàm số tại x= 3.

A. – 12        B. – 18        C. 10        D. - 20

Lời giải:

Tại các điểm x > - 1 thì hàm số đã cho có đạo hàm và

Câu 4: Cho hàm số y=(2x-6)/(x-8). Hỏi tại giá trị x bằng bao nhiêu thì y'= (- 5)/3?

Lời giải:

Điều kiện : x≠8

Với mọi x thỏa mãn điều kiện; ta có đạo hàm của hàm số là :

Câu 5: Cho hàm số y= 2x³- ( m+ 1)x²+ x+ 1. Xác định m biết y' (2)= 17?

A. m=1        B. m= - 5        C. m= 6        D. m= - 1

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là : y'= 6x² –2(m+1)x+ 1

⇒ y' ( 2 )=21-4m

Theo giả thiết ta có: 21- 4m= 17 ⇔ 4m= 4 ⇔m= 1

Chọn A.

Câu 6: Cho hàm số y= (x²+x-6)/(x+3). Tính đạo hàm của hàm số tại x= - 2

A. (- 1)/4        B.1        C. 3/6        D. 2

Lời giải:

Điều kiện : x≠-3

Với mọi x≠-2 hàm số có đạo hàm là;

Câu 7: Cho hàm số y= √(2x²-8x+11). Tính đạo hàm của hàm số đã cho tại x= - 2.

Lời giải:

Ta có: 2x²- 8x+ 11= 2(x - 2)² + 3 > 0 với mọi x.

⇒ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm.

Câu 8: Cho hàm số y= √(2x²-x-1) + 3x³- 9x. Tính đạo hàm của hàm số đã cho tại x= 0 ?

A. 1        B. 2        C. 0        D.không tồn tại

Lời giải:

+ Điều kiện : x≤(- 1)/2;x ≥1

+ Tại các điểm x thỏa mãn 2x²- x - 1 > 0 thì hàm số có đạo hàm .

+ Điểm x= 0 không thỏa mãn điều kiện xác định nên hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

Chọn D.

Câu 9: Cho hàm số y= (3+x- 3x²)⁴. Tính đạo hàm của hàm số tại x= 1?

A. -18        B. -20        C. 24        D .4

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=4(3+x- 3x²)³ ( 3+x-3x² )' = 4( 3+x-3x² )(1-6x)

⇒ Đạo hàm của hàm số tại x=1 là y’(1) = -20.

Chọn B.

Câu 10: Cho hàm số y=(x³+ 2√x+x²-1)². Tính đạo hàm của hàm số tại x= 1?

A. 24        B. 18        C. 36        D. 10

Lời giải:

+ Với x > 0 thì hàm số đã cho có đạo hàm và

y'=2( x³+2√x+x²-1).( x³+2√x+x²-1)'

y'=2( x³+2√x+x²-1) .(3x²+ 1/√x+2x)

⇒ Đạo hàm của hàm số tại x= 1 là :

y' ( 1)= 2( 1+2√1+1-1).( 3.1+1+2.1)=36

Chọn C.