Lý thuyết Tổng hợp chương Đạo hàm hay, chi tiết nhất - Toán lớp 11


Lý thuyết Tổng hợp chương Đạo hàm hay, chi tiết nhất

Tài liệu Lý thuyết Tổng hợp chương Đạo hàm hay, chi tiết nhất Toán lớp 11 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Tổng hợp chương Đạo hàm từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 11.

Lý thuyết Tổng hợp chương Đạo hàm hay, chi tiết nhất

ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA ĐẠO HÀM

I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

    Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 và kí hiệu là f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là

    Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chú ý:

    Đại lượng Δx = x – x0 gọi là số gia của đối số x tại x0.

    Đại lượng Δy = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hay lắm đó

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

    Bước 1. Giả sử Δx là số gia của đối số x tại x0, tính Δy = f(x0 + Δx) – f(x0).

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 1

    Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0.

Chú ý:

    a) Nếu y = f(x) gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0.

    b) Nếu y = f(x) liên tục tại x0 thì có thể không có đạo hàm tại x0.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí 2

    Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)).

Định lí 3

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là

        y – y0 = f’(x0)(x – x0)

    trong đó y0 = f(x0).

5. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Vận tốc tức thời: v(t0) = s’(t0).

Cường độ tức thời: I(t0) = Q’(t0).

Hay lắm đó

II. ĐẠO HÀM TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa

    Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

    Khi đó, ta gọi hàm số f’: (a; b) → R

    x → f’(x)

    là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y’ hay f’(x).

QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

I. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Định lí 1

    Hàm số y = xn (n ∈ N, n > 1) có đạo hàm tại mọi x ∈ R và (xn)’ = nxn – 1

Định lí 2

    Hàm số y = √x có đạo hàm tại mọi x dương và Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

II. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG

1. Định lí

Định lí 3

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có

    (u + v)’ = u’ + v’

    (u – v)’ = u’ – v’

    (uv)’ = u’v – v’u

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

2. Hệ quả

Hệ quả 1

    Nếu k là một hằng số thì (ku)’ = ku’.

Hệ quả 2

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hay lắm đó

III. ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP

Định lí 4

    Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u'x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là y'u thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là y'x = y'u.u'x .

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Giới hạn của Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Định lý 1

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2

    Hàm số y = sin x có đạo hàm tại mọi x ∈ R và (sin x)’ = cosx.

    Nếu y = sin u và u = u(x) thì (sin u)’ = u’.cos u.

3. Đạo hàm của hàm số y = cos x

Định lý 3

    Hàm số y = cos x có đạo hàm tại mọi x ∈ R và (cos x)’ = –sin x .

    Nếu y = cos u và u = u(x) thì (cos u)’ = –u’.sin u

4. Đạo hàm của hàm số y = tan x

Định lý 4

    Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi x ≠ π/2 + kπ và Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

    Nếu y = tan u và u = u(x) thì Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

5. Đạo hàm của hàm số y = cot x

Định lý 5

    Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi x ≠ kπ và Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

    Nếu y = cot u và u = u(x) thì Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

VI PHÂN

Cho hàm số f(n–1)(x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈ (a; b). Giả sử f(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4) là số gia của x.

Ta gọi tích f’(x0)Δx là vi phân của hàm số n – 1 tại x ứng với số gia Δx, kí hiệu là y = f(x) hoặc dy, tức là

        dy = df(x) = f’(x)Δx

ĐẠO HÀM CẤP HAI

1. Định nghĩa

    Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y’’ hoặc f’’(x).

Chú ý:

    + Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y’’’ hoặc f’’’(x) hoặc f(3)(x).

    + Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y(n) hoặc f(n)(x).

            f(n)(x) = (f(n–1)(x))’

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

    Đạo hàm cấp hai f’’(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: