Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác


Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Với Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

1. Lý thuyết

Nhắc lại công thức nghiệm phương trình lượng giác

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

tanx = tan α ⇔ x = α + kπ(k ∈ Z)

cotx = cot α ⇔ x = α + kπ(k ∈ Z)

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Phương trình lượng giác sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử đưa về phương trình tích

Phương pháp giải:

Sử dụng các biến đổi thích hợp để xuất hiện nhân tử chung như công thức nhân đôi, công thức nhân ba...

- Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

- Công thức nhân ba:

sin3a = 3sina – 4sin3a

cos3a = 4cos3a – 3cosa

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) cosx – 2sin2x = 0

b) 6sin4x + 5sin8x = 0

c) cos2x – sin2x = 0

Lời giải

a) cosx – 2sin2x = 0

⇔ cosx - 2.2.sinxcosx = 0

⇔ cosx(1 - 4sinx) = 0

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Vậy họ nghiệm của phương trình là Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

b) 6sin4x + 5sin8x = 0

⇔ 6sin4x + 5.2.sin4xcos4x = 0

⇔ 2sin4x(3 + 5cos4x) = 0

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Vậy họ nghiệm của phương trình là Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

c) cos2x – sin2x = 0

⇔ cos2x – 2sinxcosx = 0

⇔ cosx(cos x - 2sinx) = 0

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Giải phương trình (*)

Trường hợp 1: cosx = 0. Thay vào (*) ta được sinx = 0

Ta thấy sin2x + cos2x = 02 + 02 = 0 (Vô lí) (Loại).

Trường hợp 2: cosx ≠ 0 Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Chia hai vế của phương trình cho cosx, ta được

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác(Thỏa mãn)

Vậy họ nghiệm của phương trình là:Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Ví dụ 2: Giải phương trình: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – 2 = 0.

Lời giải

Ta có: sinx.cos3x – sinx + 2cos3x – 2 = 0

⇔ sinx(cos3x - 1) + 2(cos3x - 1) = 0

⇔ (cos3x - 1)(sinx + 2) = 0

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác .

Vậy họ nghiệm của phương trình là: Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Dạng 2: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng

Phương pháp giải:

- Công thức biến đổi tổng thành tích

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

- Công thức biến đổi tích thành tổng

cosa.cosb = Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác[cos(a + b) + cos(a + b)]

sina.sinb = Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác[cos(a - b) - cos(a + b)]

sina.cosb = Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác[sin(a + b) + sin(a - b)]

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x

b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x

Lời giải

a) sin2x.sin5x = sin3x.sin4x

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Vậy họ nghiệm của phương trình là: Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

b) sin5x.cos3x = sin4x.cos2x

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Vậy họ nghiệm của phương trình là: Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) sin3x + sin2x = sinx

b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x

Lời giải

a) sin3x + sin2x = sinx

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Vậy họ nghiệm của phương trình là: Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

b) sinx + sin3x = cos2x + cos4x

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Vậy họ nghiệm của phương trình là: Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Dạng 3: Sử dụng công thức hạ bậc

Phương pháp giải:

Công thức hạ bậc hai:

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: sin2x + sin23x = 2sin22x.

Lời giải

Ta có: sin2x + sin23x = 2sin22x

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Vậy họ nghiệm của phương trình là: Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Ví dụ 2: Giải phương trình sau: cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2

Lời giải

Ta có: cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Vậy họ nghiệm của phương trình là Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Nghiệm của phương trình cos2x – cosx = 0 thuộc khoảng 0 < x < π là:

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 2. Giải phương trình cos2x – sin2x = 0

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 3. Nghiệm của phương trình sin2x – sinx = 2 – 4cosx là:

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 4. Nghiệm của phương trình sin x.cos x.cos2x = 0 là:

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 5. Nghiệm của phương trình cos3x – cos5x = sinx là:

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 6. Phương trình cos5x.cos3x = cos 4x.cos2x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sinx = cos x B. cosx = 0 C. cos8x = cos6x D. sin8x = cos6x

Câu 7. Phương trình cosx + 3cos2x + cos3x = 0 có nghiệm là:

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 8. Nghiệm của phương trình cos3x – cos4x + cos5x = 0 là:

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 9. Phương trình 2sinx + cosx – sin2x – 1 = 0 có nghiệm là:

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 10. Một họ nghiệm của phương trình cos x.sin23x – cosx = 0 là :

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 11. Các nghiệm của phương trình sin2x + sin23x = cos2x + cos23x là:

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 12. Các nghiệm của phương trình Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác (với k ∈ Z ) là:

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 13. Họ nghiệm của phương trình sin2x + cos24x = 1 là:

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 14. Họ nghiệm của phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x là:

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Câu 15. Phương trình sin23x – cos24x = sin25x – cos26x có các nghiệm là:

Tất tần tật về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Bảng đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

B

D

B

D

C

C

C

C

B

B

C

D

C

A

B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: