Tính các giá trị lượng giác của một góc lượng giác lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính các giá trị lượng giác của một góc lượng giác lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính các giá trị lượng giác của một góc lượng giác.

Tính các giá trị lượng giác của một góc lượng giác lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

* Phương pháp:Để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác, ta sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản hoặc nhóm công thức liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.

* Các hệ thức lượng giác cơ bản:

√  sin² α + cos² α = 1;

√  $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$( $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, k ∈ ℤ);

√ $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (α ≠ kπ , k ∈ ℤ);

√  $\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$ ($\alpha \ne \frac{k\pi }{2}$, k ∈ ℤ).

* Giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt:

√ Góc đối nhau (α và – α): cos (– α) = cos α; sin (– α) = – sin α;

                                          tan (– α) = – tan α; cot (– α) = – cot α.

√ Góc bù nhau (α và π – α): sin (π – α) = sin α; cos (π – α) = – cos α;

                                           tan (π – α)  = – tan α; cot (π – α)  = – cot α.

√ Góc phụ nhau (α và $\frac{\pi }{2}$  – α): sin  $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$= cos α; cos  $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$= sin α;

                                             tan $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$  = cot α; cot $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$  = tan α.

√ Góc hơn kém nhau π (α và π + α): sin (π + α) = –sin α; cos (π + α) = –cos α;

                                                       tan (π + α)  = tan α; cot (π + α) = cot α.

* Chú ý: Dấu của giá trị lượng giác α = (OA, OM) phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường tròn lượng giác. Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau:

* Ngoài ra, có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của góc lượng giác và đổi số đo độ của cung tròn ra radian và ngược lại.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

a) Cho góc lượng giác có số đo bằng $-\frac{\pi }{4}$ . Tính các giá trị lượng giác của góc đã cho.

b) Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết $\sin \alpha =\frac{3}{5}$và 90° < α < 180°.

c) Tính $\cos \left(-\frac{13\pi }{4}\right)$và cot (– 315°).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: cos $\frac{-\pi }{4}$= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ; sin $\frac{-\pi }{4}$ = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$ .

Suy ra tan $\frac{-\pi }{4}$= $\frac{\sin \left(\frac{-\pi }{4}\right)}{\text{cos}\left(\frac{-\pi }{4}\right)}=-1;$cot $\frac{-\pi }{4}$= $\frac{\cos \left(\frac{-\pi }{4}\right)}{\sin \left(\frac{-\pi }{4}\right)}=-1.$

b) Ta có: sin² α + cos² α = 1 ⇔ cos² α = 1 – sin² α.

⇒ cos α = $\pm \sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$  = $\pm \sqrt{1-\frac{9}{25}}$   = $\pm \frac{4}{5}.$

Vì 90° < α < 180° nên cos α < 0.

Suy ra $\cos \alpha =\frac{-4}{5}.$

Hơn nữa, tan α = $\frac{\sin \alpha }{\text{cos }\alpha }$= $\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}$= $-\frac{3}{4}$và cot α = $\frac{1}{\tan \alpha }$ = $\frac{1}{-\frac{3}{4}}$= $-\frac{4}{3}$.

c) Ta có cos $\left(-\frac{13\pi }{4}\right)$= cos $\frac{13\pi }{4}$  = cos $\left(\frac{5\pi }{4}+2\pi \right)$  = cos $\frac{5\pi }{4}$

                         = cos $\left(\pi +\frac{\pi }{4}\right)$  = – cos $\frac{\pi }{4}$  = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Ta có cot (– 315°) = cot (45° – 360°) = cot 45° = 1.

Ví dụ 2. Sử dụng máy tính cầm tay tính các góc lượng giác sau: sin 35°15'33''; tan (– 205°);$\cos \left(-\frac{9\pi }{7}\right)$ ; $\cot \left(\frac{2\pi }{5}\right).$

Hướng dẫn giải

· Để tính sin 35°15'33''; tan (– 205°) ta chuyển máy tính sang chế độ “độ” và thực hiện bấm các nút ấn như bảng dưới đây:

Như vậy ta có: sin 35°15'33'' = 0,5772758359; tan (– 205°) = – 0,4663076582.

· Để tính $\cos \left(-\frac{9\pi }{7}\right)$ ; $\cot \left(\frac{2\pi }{5}\right)$  ta chuyển máy tính sang chế độ “radian” và thực hiện bấm các nút ấn như bảng dưới đây:

Như vậy ta có: $\cos \left(-\frac{9\pi }{7}\right)=-\mathrm{0,6234898019}$  ;  $\cot \left(\frac{2\pi }{5}\right)=\mathrm{0,3249196962.}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. sin(– 180°) = – sin 180°;

B. cos 0° = 1;

C. sin 0° = 0;

D. cot 0° = 0.

Bài 2. Cho sin α =$-\frac{1}{3}$ , cos α = $\frac{2}{3}$. Giá trị của tan α là

A. $-\frac{1}{2}$;

B. 2;

C. 1;

D. – 2.

Bài 3. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. sin 135° = sin 45°;

B. tan 90° = cot 90°;

C. sin  $\left(\frac{\pi }{2}-1\right)$= – cos 1;

D. tan  $\left(\frac{\pi }{2}-1\right)$= – cot 1.

Bài 4. Cho sin α =$\frac{3}{5}$ và 0° < α < 90°. Giá trị của cos α là:

A.$\frac{4}{5}$ ;

B.$-\frac{4}{5}$ ;

C. $\frac{3}{4}$;

D. $-\frac{3}{5}$.

Bài 5. Số thích hợp để điền vào chỗ trống sin (– 135°) = … là

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

B.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

C.$\frac{1}{2}$ ;

D.$-\frac{1}{3}$ .

Bài 6. cos (x + 2023π) bằng kết quả nào sau đây?

A. cos x;

B. – sin x;

C. sin x;

D. – cos x.

Bài 7. Cho cos α = và 0 < α < . Khi đó sin α có giá trị là:

A.$\frac{1}{3}$ ;

B. $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$;

C. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$;

D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Bài 8. Trên nửa đường tròn đơn vị cho góc α sao cho sin α = $\frac{2}{3}$và cos α < 0. Khi đó tan α có giá trị bằng bao nhiêu?

A.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ;

B.$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ ;

C.$-\frac{2}{5}$ ;

D. 1.

Bài 9. Cho cot α =  và 90° < α < 180°. Đáp án nào sau đây là đúng?

A. sin α =$-\frac{3}{5}$ ;

B. cos α =$\frac{1}{5}$ ;

C. sin α = $\frac{3}{5}$ ;

D. tan α = $\frac{3}{4}$ .

Bài 10. Cho tan α =$\sqrt{5}$ , với π < α <$\frac{3\pi }{2}$ . Khi đó cos α có giá trị bằng

A. $-\frac{\sqrt{6}}{6}$ ;

B.$\sqrt{6}$ ;

C. $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ;

D.$\frac{1}{6}$ .