Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi.

Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Để làm tốt dạng bài này, ta cần nắm vững các công thức cộng lượng giác, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc và sử dụng thành thạo các góc lượng giác có liên quan đặc biệt, các hằng đẳng thức lượng giác.

Dưới đây là các công thức cộng lượng giác, công thức nhân đôi.

a) Công thức cộng

sin(a + b) = sina×cosb + cosa×sinb

sin(a − b) = sina×cosb − cosa×sinb

cos(a + b) = cosa×cosb – sina×sinb

cos(a − b) = cosa×cosb + sina×sinb

$\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\cdot \tan b}$

$\tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\cdot \tan b}$

b) Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina×cosa

cos2a = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$

$\cot 2\alpha =\frac{{\cot }^2\alpha -1}{2\cot \alpha }$

* Công thức hạ bậc

${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$

${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$

${\tan }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$

* Một số công thức nâng cao (công thức nhân ba)

sin3a = 3sina − 4sin³a

cos3a = 4cos³a − 3cosa

$\tan 3\alpha =\frac{3\tan \alpha -{\tan }^3\alpha }{1-3{\tan }^2\alpha }$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tana = 2. Tính  $\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)$.

Hướng dẫn giải:

Có  $\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}$$=\frac{\tan \alpha -1}{1+\tan \alpha }$$=\frac{2-1}{1+2}=\frac{1}{3}$(vì tana = 2). 

Vậy tana = 2 thì $\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{3}$.

Ví dụ 2. Cho $cos\alpha =-\frac{2}{3}$ . Tính cos2a.

Hướng dẫn giải:

Có cos2a = 2cos²a − 1 = $2\cdot {\left(-\frac{2}{3}\right)}^2-1=-\frac{1}{9}$.

Vậy $cos\alpha =-\frac{2}{3}$ thì $cos2\alpha =-\frac{1}{9}$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Biểu thức sinxcosy – cosxsiny bằng

A. cos(x – y);

B. cos(x + y);

C. sin(x – y);

D. sin(y – x).

Bài 2. Biểu thức $\frac{\sin \left(a+b\right)}{\sin \left(a-b\right)}$bằng biểu thức nào sau đây?

A. $\frac{\sin \left(a+b\right)}{\sin \left(a-b\right)}=\frac{\sin a+\sin b}{\sin a-\sin b}$;

B. $\frac{\sin \left(a+b\right)}{\sin \left(a-b\right)}=\frac{\sin a-\sin b}{\sin a+\sin b}$;

C. $\frac{\sin \left(a+b\right)}{\sin \left(a-b\right)}=\frac{\tan a+\tan b}{\tan a-\tan b}$;

D.$\frac{\sin \left(a+b\right)}{\sin \left(a-b\right)}=\frac{\cot a+\cot b}{\cot a-\cot b}$ .

Bài 3. Cho hai góc a, b thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{5}{13},\left(\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \right)$và $cos\beta =\frac{3}{5},\left(0<\beta <\frac{\pi }{2}\right)$. Tính giá trị của cos(a − b).

A.$\frac{16}{65}$ ;

B. $-\frac{18}{65}$;

C.$\frac{18}{65}$ ;

D. $-\frac{16}{65}$.

Bài 4. Rút gọn biểu thức sin(a − 17°)cos(a + 13°) − sin(a + 13°)cos(a − 17°) ta được

A. sin2a;

B. cos2a;

C. $-\frac{1}{2}$;

D. $\frac{1}{2}$.

Bài 5. Cho x, y là các góc nhọn, $\cot x=\frac{4}{3}$ ; cot y = 7. Tổng x + y bằng

A.$\frac{\pi }{3}$ ;

B. $\frac{\pi }{4}$;

C. $\frac{\pi }{6}$;

D.$\frac{2\pi }{3}$ .

Bài 6. Đẳng thức nào không đúng với mọi x?

A. $co{s}^{2}3x=\frac{1+cos6x}{2}$;

B. cos2x = 1 – 2sin²x;

C. sin2x = 2sinxcosx;

D. ${\sin }^{2}2x=\frac{1+cos4x}{2}$.

Bài 7. Cho $\cos x=\frac{4}{5},x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$. Giá trị của sin2x là

A.$\frac{24}{25}$ ;

B. $-\frac{24}{25}$;

C. $-\frac{1}{5}$;

D. $\frac{1}{5}$ .

Bài 8. Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. $\cot 2x=\frac{{\cot }^{2}x-1}{2\cot x}$;

B.$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$ ;

C. sin3a = 3sina − 4sin³a ;

D. cos3a = 4cos³a − 3cosa.

Bài 9. Nếu $\sin x+\cos x=\frac{1}{2}$thì sin2x bằng

A.$\frac{3}{4}$ ;

B.$\frac{3}{8}$ ;

C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

D. $\frac{-3}{4}$.

Bài 10. Cho $\sin 2\alpha =\frac{3}{4}$. Tính giá trị biểu thức A = tana + cota

A. $\frac{2}{3}$;

B. $\frac{4}{3}$;

C. $\frac{8}{3}$;

D. $\frac{16}{3}$.