Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng) lớp 11 (bài tập + lời giải)


Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng) lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng).

Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng) lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

- Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn limxx0fxfx0xx0  thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 và được kí hiệu f'(x0) hoặc .

- Để tính đạo hàm f'(x0) của hàm số y = f(x) tại x0, ta thực hiện ba bước sau:

+ Bước 1: Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x0. Tính ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0).

+ Bước 2: Rút gọn tỉ số ΔyΔx .

+ Bước 3: Tính limΔx0ΔyΔx .

Kết luận nếu limΔx0ΔyΔx=a  thì f'(x0) = a.

- Ngoài cách trên, để tính đạo hàm f'(x0) của hàm số y = f(x) tại x0 ∈ (a; b) ta có thể thực hiện như sau:

+ Bước 1: Tính f(x) – f(x0).

+ Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số fxfx0xx0  với x ∈ (a; b), x ≠ x0.

+ Bước 3: Tìm giới hạn limxx0fxfx0xx0 .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số f(x)=1x  tại x0 = 1 bằng định nghĩa.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x0 = 1.

Ta có ∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = 11 + Δx1=Δx1 + Δx.

Suy ra ΔyΔx=11+Δx.

Ta thấy limΔx0ΔyΔx=limΔx011+Δx=11=1.

Vậy f'(1) = –1.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x – 3 tại x0 = 5 bằng định nghĩa.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x0 = 5.

Ta có ∆y = f(5 + ∆x) – f(5) = 2 + ∆x  – 2 = ∆x.

Suy ra ΔyΔx=1.

Ta thấy limΔx0ΔyΔx=limΔx01=1.

Vậy f'(5) = 1.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x2 + 2x tại điểm x0 = 1.

Hướng dẫn giải:

Ta có: f(x) – f(1) = x2 + 2x – 3 = x2 – 1 + 2x – 2 = (x – 1)(x + 3).

Với x ≠ 1, fxf1x1=x1x+3x1=x+3.

Tính giới hạn: limx1fxf1x1=limx1x+3=1+3=4.

Vậy f'(1) = 4.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số f(x) = 3x2 + 2x – 1, ∆x là số gia của biến số tại x0 = 3. Khi đó ∆y bằng:

A. 3(∆x)2 + 20∆x;

B. (∆x)2 + 20∆x;

C. 3(∆x)2 + 16∆x;

D. 3(∆x)2 + 20∆x + 33.

Bài 2. Đạo hàm của hàm số f(x)=13x4 tại x= 2 là:

A. 34 ;

B. 34 ;

C. 43 ;

D. 43 .

Bài 3. Cho hàm số f(x)=x31x+2. Đạo hàm của số tại x= 1 là:

A. 0;

B. 1;

C. –2;

D. 3.

Bài 4. Cho hàm số x2, ∆x là số gia của biến số tại x0 = 3. Khi đó ΔyΔx  bằng:

A. 11+ΔxΔx ;

B. 1Δx+1Δx ;

C. 1+Δx1Δx ;

D. 1+Δx+1Δx .

Bài 5. Trong các hàm số sau hàm số nào có đạo hàm bằng 14 tại x= 1.

A. x2xx + 1 ;

B. x21x+2 ;

C. x22x ;

D. x22xx+1 .

Bài 6. Cho hàm số f(x) = sin x. Đạo hàm của số tại x= π2 là:

A. –2;

B. –1;

C. 0;

D. 1.

Bài 7. Cho hàm số f(x) = x. Đạo hàm của hàm số tại x= 3 là:

A. 123 ;

B. 0;

C. 13 ;

D. 1.

Bài 8. Đạo hàm của hàm số f(x) = x4 – 5 tại x= 2 là:

A. 8;

B. 24;

C. 0;

D. 32.

Bài 9. Cho hàm số f(x) = x1. Đạo hàm của hàm số tại x= 10 là:

A. –1;

B. 0;

C. 13 ;

D. 16 .

Bài 10. Đạo hàm của hàm số f(x) = x2 – 2x + 1 tại x= 1 bằng a. Đạo hàm của hàm số g(x) = x – 2 tại x= 4 bằng b. Khi đó a – b bằng:

A. –1;

B. 0;

C. 1;

D. Cả A, B, C đều sai.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác: