Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng) lớp 11 (bài tập + lời giải)
Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng) lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng).
Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng) lớp 11 (bài tập + lời giải)
1. Phương pháp giải
- Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 và được kí hiệu f'(x0) hoặc .
- Để tính đạo hàm f'(x0) của hàm số y = f(x) tại x0, ta thực hiện ba bước sau:
+ Bước 1: Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x0. Tính ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0).
+ Bước 2: Rút gọn tỉ số .
+ Bước 3: Tính .
Kết luận nếu thì f'(x0) = a.
- Ngoài cách trên, để tính đạo hàm f'(x0) của hàm số y = f(x) tại x0 ∈ (a; b) ta có thể thực hiện như sau:
+ Bước 1: Tính f(x) – f(x0).
+ Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số với x ∈ (a; b), x ≠ x0.
+ Bước 3: Tìm giới hạn .
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số tại x0 = 1 bằng định nghĩa.
Hướng dẫn giải:
Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x0 = 1.
Ta có ∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = .
Suy ra .
Ta thấy .
Vậy f'(1) = –1.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x – 3 tại x0 = 5 bằng định nghĩa.
Hướng dẫn giải:
Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x0 = 5.
Ta có ∆y = f(5 + ∆x) – f(5) = 2 + ∆x – 2 = ∆x.
Suy ra .
Ta thấy .
Vậy f'(5) = 1.
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x2 + 2x tại điểm x0 = 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có: f(x) – f(1) = x2 + 2x – 3 = x2 – 1 + 2x – 2 = (x – 1)(x + 3).
Với x ≠ 1, .
Tính giới hạn: .
Vậy f'(1) = 4.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hàm số f(x) = 3x2 + 2x – 1, ∆x là số gia của biến số tại x0 = 3. Khi đó ∆y bằng:
A. 3(∆x)2 + 20∆x;
B. (∆x)2 + 20∆x;
C. 3(∆x)2 + 16∆x;
D. 3(∆x)2 + 20∆x + 33.
Bài 2. Đạo hàm của hàm số tại x0 = 2 là:
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Bài 3. Cho hàm số . Đạo hàm của số tại x0 = 1 là:
A. 0;
B. 1;
C. –2;
D. 3.
Bài 4. Cho hàm số , ∆x là số gia của biến số tại x0 = 3. Khi đó bằng:
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Bài 5. Trong các hàm số sau hàm số nào có đạo hàm bằng tại x0 = 1.
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
Bài 6. Cho hàm số f(x) = sin x. Đạo hàm của số tại x0 = là:
A. –2;
B. –1;
C. 0;
D. 1.
Bài 7. Cho hàm số f(x) = . Đạo hàm của hàm số tại x0 = 3 là:
A. ;
B. 0;
C. ;
D. 1.
Bài 8. Đạo hàm của hàm số f(x) = x4 – 5 tại x0 = 2 là:
A. 8;
B. 24;
C. 0;
D. 32.
Bài 9. Cho hàm số f(x) = . Đạo hàm của hàm số tại x0 = 10 là:
A. –1;
B. 0;
C. ;
D. .
Bài 10. Đạo hàm của hàm số f(x) = x2 – 2x + 1 tại x0 = 1 bằng a. Đạo hàm của hàm số g(x) = x – 2 tại x0 = 4 bằng b. Khi đó a – b bằng:
A. –1;
B. 0;
C. 1;
D. Cả A, B, C đều sai.