Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học - Toán lớp 11
Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học
Với Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học Toán lớp 11 tổng hợp 10 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập phương pháp quy nạp toán học từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
Bài 1: Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?
A. Mạnh thu được 122 mảnh
B. Mạnh thu được 123 mảnh
C. Mạnh thu được 120 mảnh
D. Mạnh thu được 121 mảnh
Lời giải:
Đáp án: D
Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là Sn = 6n + 1. Ta chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.
Bước cơ sở. Mạnh cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n =1, S(1) = 6.1+1 =7
Công thức đúng với n = 1
Bước quy nạp: giả sử sau k bước, Mạnh nhận được số mảnh giấy là S(k) = 6k + 1
Sang bước thứ k +1, Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k bước trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S(k) mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra. Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k + 1 là: S(k =1) = S(k) -1 + 7= S(k) + 6 = 6k + 1 + 1 = 6(k+1) +1
Vậy công thức S(n) đúng với mọi n ∈ N*. Theo công thức trên chỉ có phương án D thoả mãn vì 121 =6.20 + 1
Đáp án D
Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi un = n2 – 4n – 2. Khi đó u10 bằng:
A. 48 B. 60 C. 58 D. 10
Lời giải:
Đáp án: C
Hướng dẫn giải. u10 = 102 – 4.20 – 2 =58
Đáp án C
Bài 3: Cho dãy số un = 1+ (n +3).3n. khi đó công thức truy hồi của dãy là:
A. un+1 = 1 +3un với n ≥ 1
B. un+1 = 1 +3un + 3n+1 với n ≥ 1
C. un+1 = un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1
D. un+1 = 3un + 3n+1 - 2 với n ≥ 1
Lời giải:
Đáp án: D
Hướng dẫn giải. un+1 = 1+ (n+4).3n+1 = 1 + (n+3).3n+1 + 3n+1
= 1 + 3n.(n+3).3 + 3n+1 = 3[1 + (n+ 3).3n] + 3n+1 – 2 = 3un + 3n+1 -2
Đáp án là D
Bài 4: Phép chứng minh sau đây nhận giá trị chân lí là gì?
A. Đúng
B. Sai
C. Không đúng không sai
D. Vừa đúng vừa sai
Lời giải:
Đáp án: B
Phép chứng minh thiếu mất bước cơ sở kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
Bài 5: Cho x≠0 và x +1/x là một số nguyên. Khi đó với mọi số nguyên dương n, có kết luận gì về T(n,x) = xn + 1/xn .
A. T(n,x) là số vô tỉ
B. T(n,x) là số không nguyên
C. T(n,x) là số nguyên
D. Các kết luận trên đều sai
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có
Ta sẽ chứng minh T(1,x) là số nguyên
Thật vậy, áp dụng phép chứng minh quy nạp, ta có:
Bước cơ sở: T(1,x) là số nguyên. Khẳng định đúng với n=1
Bước quy nạp: Giả sử T(n,x) là số nguyên với mọi n ≥ 1. Ta sẽ chứng minh T(n+1,x) cũng là số nguyên
Ta có:
Theo giả thuyết quy nạp, ta có T(1,x),T(n,x), T(n-1,x) là các số nguyên nên T(n+1,x) là số nguyên
Bài 6: Với mọi số nguyên dương n, tổng Sn=n3+11n chia hết cho:
Với mọi số nguyên dương n, tổng Sn=n3+11n chia hết cho:
A. 6 B. 4 C. 9 D. 12
Lời giải:
Đáp án: A
Dễ dàng tìm được đáp án n = 6
Bài 7: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n > p ( là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. k > p B. k chia hết cho π
C. k = p D. k < p
Lời giải:
Đáp án: B
Chọn B.
Bài 8: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n > p (p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:
- Bước 1, kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = p
- Bước 2, giả thiết mệnh đề A(n) đúng với số tự nhiên bất kỳ n > p và phải chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1
Trong hai bước trên:
A. Chỉ có bước 1 đúng. B. Chỉ có bước 2 đúng.
C. Cả hai bước đều đúng. D. Cả hai bước đều sai.
Lời giải:
Đáp án: C
Chọn C.
Bài 9: Một học sinh chứng minh mệnh đề "8n+1 chia hết cho 7 mọi n ∈ ¥" (*) như sau:
- Giả sử đúng với n = k, tức là 8n+1 chia hết cho 7
- Ta có: 8k+1+1=8(8k+1)-7 , kết hợp với giả thiết 8k+1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8k+1+1 chia hết cho 7 Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ ¥
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Học sinh trên chứng minh đúng.
B. Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.
C. Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.
D. Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.
Lời giải:
Đáp án: D
Thiếu bước 1 là kiểm tra với n = 1, khi đó ta có 8 +1 = 9 không chi hết cho 7. Chọn D.
Bài 10: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên). Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:
A. n = 1 B. n = p C. n > p D. n ≥ p
Lời giải:
Đáp án: B
Chọn B.
