Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng.

Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

- Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu (m, n), là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.

- Các cách xác định góc giữa hai đường thẳng:

+ Cách 1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

+ Cách 2. Để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc đường thẳng a rồi vẽ một đường thẳng a' không trùng với a qua O và song song với đường thẳng b. Từ đó, ta có: (a, b) = (a, a').

+ Cách 3. Sử dụng tích vô hướng: Tìm hai vectơ chỉ phương ,  của hai đường thẳng d₁, d₂. Khi đó góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ xác định bởi .

- Chú ý:

+ Với hai đường thẳng a, b bất kì: 0° ≤ (a, b) ≤ 90°.

+ Để tính $\overrightarrow{u_1}$ , $\overrightarrow{u_2}$ , ,  ta chọn ba vectơ $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ ,  $\overrightarrow{c}$rồi thực hiện các tính toán.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình chữ nhật ABCD với AC = 2AB. Tính góc giữa các đường thẳng sau:

a) (AD, A'B').

b) (A'B', AC).

Hướng dẫn giải

a)

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên ta có:

A'B' song song với AB

Mà AB cắt AD tại A

Nên ta có: (AD, A'B') = (AD, AB)

Do ABCD là hình chữ nhật nên AD vuông góc với AB hay:

(AD, A'B') = (AD, AB) = 90°.

b)

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

AC = 2AB (gt) nên $\sin \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{ACB}=30°$

$\Rightarrow \widehat{BAC}=90°-30°=60°$.

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp chữ nhật nên ta có:

A'B' song song với AB

Mà AB cắt AC tại A

Nên ta có: (A'B', AC) = (AB, AC) = $\widehat{BAC}$ = 60°.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BD.

Khi đó, MI, NI, MJ, NJ lần lượt là các đường trung bình của tam giác ABC, BCD, ACD và ABD.

Do đó, ta có:

$MI=NI=MJ=NJ=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}$

MI // AB; CD // NI

Do đó, MINJ là hình thoi.

Và (AB, CD) = (IM, IN) = $\widehat{MIN}$ .

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Khi đó MN vuông góc với IJ tại O và O là trung điểm của IJ.

Suy ra $IO=\frac{IJ}{2}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$ .

Xét tam giác MIO vuông tại O có:

$\cos \widehat{MIO}=\frac{IO}{MI}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{MIO}=30°\Rightarrow \widehat{MIN}=60°$.

Vậy (AB, CD) = 60°.

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và . Hãy xác định góc giữa cặp hai đường thẳng AB và CD.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}$ , đường thẳng CD có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{CD}$ .

Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 90°.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Giả sử tam giác AB'C và A'DC' đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A'D là góc nào sau đây?

A. $\widehat{BDB\text{'}}$ ;

B. $\widehat{AB\text{'}C}$ ;             

C. $\widehat{DB\text{'}B}$ ;             

D. $\widehat{DA\text{'}C\text{'}}$ .

Câu 2. Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Số đo góc giữa hai đường thẳng CD và AB là

A. $30°$ ;       

B. $45°$ ;                

C. $60°$ ;                

D. $90°$ .

Câu 3. Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của BC. Khi đó cos(AB, DM) bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ;       

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;                

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;                 

D. $\frac{1}{2}$ .

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN, SC) bằng

A. $30°$ ;                

B. $45°$ ;                

C. $60°$ ;                

D. $90°$ .

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng:

A. $30°$ ;                

B. $45°$ ;                

C. $60°$ ;                

D. $90°$ .

Câu 6. Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc giữa (IE, JF) bằng

A. $30°$ ;                

B. $45°$ ;                

C. $60°$ ;                

D. $90°$ .

Câu 7. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa hai đường thẳng AB, DH bằng bao nhiêu?

A. $30°$ ;                

B. $45°$ ;                

C. $60°$ ;                

D. $90°$ .

Câu 8. Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC'D' có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O'. Hãy xác định góc giữa hai đường thẳng AB và OO'?

A. $30°$ ;                

B. $45°$ ;                

C. $90°$ ;                

D. $120°$ .

Câu 9. Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;                

B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ;                 

C. $\frac{1}{2}$ ;         

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng:

A. $90°$ ;                

B. $45°$ ;                

C. $30°$ ;                

D. $60°$ .