Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm.

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm lớp 11 (bài tập + lời giải)

 

1. Phương pháp giải

- Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D và điểm $x_0\in D$. Để xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm x = x₀:

+ Tính giới hạn của hàm số khi $x\to x_0$ và tính f(x₀).

+ Nếu tồn tại $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$ thì ta so sánh, nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0+}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0-}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$ thì hàm số liên tục tại x₀.

- Lưu ý:

+ Để hàm số liên tục tại x₀, hàm số cần phải xác định tại điểm x₀.

+ <$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=a\iff \underset{x\to x_0+}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0-}{\lim }f\left(x\right)=a$.

+ Hàm số liên tục tại x₀ .

+ Hàm số liên tục tại x₀ $\iff \underset{x\to x_0+}{\lim }{f}_1\left(x\right)=\underset{x\to x_0-}{\lim }{f}_2\left(x\right)=f_1\left(x_0\right)$ .

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số  tại x = 5.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định trên ℝ.

Ta có f(5) = 3;

$\underset{x\to 5}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 5}{\lim }\left(x-2\right)=3=f\left(5\right)$.

Vậy hàm số liên tục tại x = 5.

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số  tại x = 1.

Hướng dẫn giải:

•$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x+1\right)=2$

•<$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(3x-4\right)=-3$

Ta thấy $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\underset{x\to 1^{-}}{\ne \lim }f\left(x\right)$

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số  tại x = 1.

A. Hàm số liên tục tại x = 1;

B. Hàm số gián đoạn tại x = 1;

C. Không thể xác định tính liên tục của hàm số tại x = 1;

D. Cả 3 đáp án trên đều không đúng.

Bài 2. Cho hàm số . Kết luận nào dưới đây không đúng?

A. Hàm số liên tục tại x = 1;

B. Hàm số liên tục tại x = −1;

C. Hàm số liên tục tại x = 3;

D. Hàm số liên tục tại x = −3.

Bài 3. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x-1}{x^3-4x}$. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số trên liên tục tại điểm x = −2;

B. Hàm số trên liên tục tại điểm x = 0;

C. Hàm số trên liên tục tại điểm x = $\frac{1}{2}$;

D. Hàm số trên liên tục tại điểm x = 2.

Bài 4. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{1-2x}}{x}$ với x ≠ 0. Để hàm số liên tục tại x = 0 thì giá trị f(0) bằng bao nhiêu?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Bài 5. Cho hàm số . Kết luận nào dưới đây không đúng?

A. Hàm số liên tục tại x = 2;

B. Hàm số liên tục tại x = −2;

C. Hàm số liên tục tại x = 3;

D. Hàm số liên tục tại x = −3.

Bài 6. Cho hàm số  Khi đó $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ bằng

A. 4;

B. 5;

C. 6;

D. 7.

Bài 7. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{3x-5}{x^2-4x}$. Kết luận nào sau đây là sai?

A. Hàm số liên tục tại x = 0;

B. Hàm số liên tục tại x = 2;

C. Hàm số liên tục tại x = −2;

D. Hàm số liên tục tại x = 3.

Bài 8. Cho $f\left(x\right)=\frac{x^2+6x}{5x}$ với x ≠ 0. Để hàm số liên tục trên R thì giá trị của f(0) là bao nhiêu?

A. $\frac{9}{8}$;

B. $\frac{8}{7}$;

C. $\frac{7}{6}$

D.$\frac{6}{5}$.

Bài 9. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x^3-1}$. Nhận xét nào sau đây là sai?

A. Hàm số liên tục trên x = 1;

B. Hàm số liên tục trên x = 2;

C. Hàm số liên tục trên x = 3;

D. Hàm số liên tục trên x = 4.

Bài 10. Cho $f\left(x\right)=\frac{2x}{\sqrt{x+1}-1}$ với x ≠ 0. Để hàm số liên tục trên R thì giá trị f(0) bằng bao nhiêu?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.