Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết BM = CN

Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết BM = CN. Chứng minh tam giác ABC cân tại A.

Giải vở thực hành Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 9 trang 56 Vở thực hành Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết BM = CN. Chứng minh tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

Theo định lí về ba đường trung tuyến trong tam giác ta có:

GC = $\frac{2}{3}$CN.

GB = $\frac{2}{3}$BM.

Mà BM = CN (gt) nên GB = GC. Suy ra tam giác GBC cân tại G, nên $\widehat{\text{NCB}}=\widehat{\text{MBC}}\text{}$.

Xét tam giác NCB và tam giác MBC:

BM = CN (gt).

$\widehat{\text{NCB}}=\widehat{\text{MBC}}\text{}$.

Cạnh chung BC.

Nên tam giác NCB bằng tam giác MBC theo trường hợp c.g.c.

Ta được $\widehat{\text{NBC}}=\widehat{\text{MCB}}$(hai góc tương ứng) hay $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}$suy ra tam giác ABC cân tại A.