Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác

❮ Bài trước Bài sau ❯

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH = 2OM.

Giải vở thực hành Toán 9 Bài tập cuối chương 9 - Kết nối tri thức

Bài 6 trang 113 VTH Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH = 2OM.

Lời giải:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác

Kẻ đường cao CD của tam giác ABC. Gọi N là trung điểm của cạnh AC.

Khi đó tam giác AOC cân tại O nên ON cũng là đường phân giác của góc AOC.

Do vậy $\hat{A O N} = \frac{\hat{A O C}}{2} = \hat{A B C} .$

Suy ra $\hat{N A O} = 90 ° - \hat{A O N} = 90 ° - \hat{A B C} = \hat{D A H} .$

Tương tự $\hat{M C O} = 90 ° - \hat{C O M} = 90 ° - \hat{D A C} = \hat{D C A} .$

Hai tam giác NAO và DAH có:

$\hat{N A O} = \hat{D A H}$ (chứng minh trên), $\hat{A N O} = \hat{A D H} = 90 ° .$

Do đó ∆NAO ᔕ ∆DAH (g.g).

Suy ra $\frac{A O}{A H} = \frac{A N}{A D},$ hay $A H = \frac{A O . A D}{A N} = \frac{2 A O . A D}{A C} .$ (1)

Hai tam giác OMC và ADC có:

$\hat{M C O} = \hat{D C A}$ (chứng minh trên), $\hat{O M C} = \hat{A D C} = 90 ° .$

Vì vậy ∆OMC ᔕ ∆ADC (g.g).

Suy ra $\frac{O M}{A D} = \frac{O C}{A C} .$

Do đó $2 O M = \frac{2 O C . A D}{A C} = \frac{2 O A . O C}{A C} = A H$ (theo (1)).

Lời giải vở thực hành Toán 9 Bài tập cuối chương 9 hay khác:

Vở thực hành Toán 9

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác

Giải vở thực hành Toán 9 Bài tập cuối chương 9 - Kết nối tri thức

Xem thêm các bài giải vở thực hành Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: