Bài 3 trang 14 Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho phép tịnh tiến trong đó .

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài 2: Phép tịnh tiến - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 14 Chuyên đề Toán 11: Cho phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{u}}$ trong đó $\overrightarrow{u}=\left(3;5\right)$.

a) Tìm ảnh của các điểm A(–3; 4), B(2; –7) qua $T_{\overrightarrow{u}}$.

b) Biết rằng M’(2; 6) là ảnh của điểm M qua $T_{\overrightarrow{u}}$. Tìm tọa độ của điểm M.

c) Tìm ảnh của đường thẳng d: 4x – 3y + 7 = 0 qua $T_{\overrightarrow{u}}$.

Lời giải:

a) Đặt $A^{\text{'}}\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}}\right)=T_{\overrightarrow{u}}\left(A\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{u}$, mà $\overrightarrow{{\mathrm{AA}}^{\text{'}}}=\left(x^{\text{'}}+3;y^{\text{'}}-4\right)$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\text{'}}+3=3\\ {\mathrm{y}}^{\text{'}}-4=5\end{array}\right.$

Vì vậy $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\text{'}}=0\\ {\mathrm{y}}^{\text{'}}=9\end{array}\right.$

Suy ra tọa độ A’(0; 9).

Đặt $B^{\text{'}}\left(x^{\text{'}\text{'}};y^{\text{'}\text{'}}\right)=T_{\overrightarrow{u}}\left(B\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{BB}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}$, mà $\overrightarrow{{\mathrm{BB}}^{\text{'}}}=\left({\mathrm{x}}^{\text{'}\text{'}}-2 ; {\mathrm{y}}^{\text{'}\text{'}}+7\right)$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\text{'}\text{'}}-2=3\\ {\mathrm{y}}^{\text{'}\text{'}}+7=5\end{array}\right.$

Vì vậy $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\text{'}\text{'}}=5\\ {\mathrm{y}}^{\text{'}\text{'}}=-2\end{array}\right.$

Suy ra tọa độ B’(5; –2).

Vậy ảnh của các điểm A, B qua $T_{\overrightarrow{u}}$ lần lượt là các điểm A’(0; 9), B’(5; –2).

b) Gọi M(x_M; y_M).

Theo đề, ta có $M^{\text{'}}=T_{\overrightarrow{u}}\left(M\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{\mathrm{u}}$, mà $\overrightarrow{{\mathrm{MM}}^{\text{'}}}=\left(2-{\mathrm{x}}_{\mathrm{M}} ; 6-{\mathrm{y}}_{\mathrm{M}}\right)$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}2-{\mathrm{x}}_{\mathrm{M}}=3\\ 6-{\mathrm{y}}_{\mathrm{M}}=5\end{array}\right.$

Vì vậy $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{\mathrm{M}}=-1\\ {\mathrm{y}}_{\mathrm{M}}=1\end{array}\right.$

Vậy tọa độ M(–1; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Chọn điểm N(–1; 1) ∈ d: 4x – 3y + 7 = 0.

Gọi N’(x’; y’) lần lượt là ảnh của N qua $T_{\overrightarrow{u}}$.

Ta có $T_{\overrightarrow{u}}\left(N\right)=N^{\text{'}}$, suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{NN}}^{\text{'}}}=\overrightarrow{u}$ với $\overrightarrow{{\mathrm{NN}}^{\text{'}}}=\left(x^{\text{'}}+1;y^{\text{'}}-1\right)$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\text{'}}+1=3\\ {\mathrm{y}}^{\text{'}}-1=5\end{array}\right.$

Vì vậy $\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^{\text{'}}=2\\ {\mathrm{y}}^{\text{'}}=6\end{array}\right.$

Suy ra tọa độ N’(2; 6).

Đường thẳng d: 4x – 3y + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d=\left(4;-3\right)$.

Gọi d’ là ảnh của d qua $T_{\overrightarrow{u}}$, do đó d’ song song hoặc trùng với d nên d’ nhận ${\overrightarrow{n}}_d=\left(4;-3\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có d’ là đường thẳng đi qua M’(2; 6) và có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d=\left(4;-3\right)$ nên có phương trình là:

4(x – 2) – 3(y – 6) = 0 hay 4x – 3y + 10 = 0.

Vậy ảnh của đường thẳng d: 4x – 3y + 7 = 0 qua $T_{\overrightarrow{u}}$ là đường thẳng d’: 4x – 3y + 10 = 0.

Lời giải Chuyên đề Toán 11 Bài 2: Phép tịnh tiến hay, chi tiết khác:

• Khởi động trang 10 Chuyên đề Toán 11: Phép dời hình nào có thể biến hình ngôi sao A thành hình ngôi sao B? ....

• Khám phá 1 trang 11 Chuyên đề Toán 11: Quan sát các điểm được vẽ trên mặt phẳng tọa độ (Hình 1). a) Có nhận xét gì về các vectơ ....

• Thực hành 1 trang 11 Chuyên đề Toán 11: Chứng minh phép đồng nhất là một phép tịnh tiến ....

• Vận dụng 1 trang 11 Chuyên đề Toán 11: Tìm độ dài vectơ tịnh tiến của phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ biến các điểm A, B, C, D, E thành A’, B’, C’, D’, E’ ....

• Khám phá 2 trang 12 Chuyên đề Toán 11: Cho vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ và đường thẳng d. A và M là hai điểm bất kì trên d. Gọi A’ và M’ lần lượt là ảnh của A và M ....

• Thực hành 2 trang 13 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép tịnh tiến ${\mathrm{T}}_{\overrightarrow{\mathrm{v}}}$ với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{v}}=\left(3;2\right)$ ....

• Vận dụng 2 trang 13 Chuyên đề Toán 11: Trong Hình 8, người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết ....

• Bài 1 trang 14 Chuyên đề Toán 11: Cho phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{u}}$ và phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{v}}$. Với điểm M bất kì, $T_{\overrightarrow{u}}$ biến M thành M’ ....

• Bài 2 trang 14 Chuyên đề Toán 11: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Khi điểm M thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm M’ thay đổi trên đường ....

• Bài 4 trang 14 Chuyên đề Toán 11: Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó ....

• Bài 5 trang 14 Chuyên đề Toán 11: Trong Hình 9, tìm các vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ sao cho phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{u}}$ biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (B) ....